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Auteur(s)
-
Claude ROUXEL : Enseignant au Conservatoire National des Arts et Métiers
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. L’idée de base pour construire cet ensemble de nombres est d’adjoindre à l’ensemble
des réels, un nouveau nombre, noté
, dont le carré vaut (–1).
Ce nouvel ensemble de nombres est conçu de façon à :
-
conserver les règles opératoires sur les réels (associativité, commutativité, distributivité...) ;
-
tenir compte de la nouvelle règle :
= –1.
On démontre alors que les nombres complexes peuvent s’écrire, de façon unique, sous la forme dite cartésienne :
où a et b sont des réels.
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Transformation cissoïdale
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4. Applications
4.1 Racine carrée et équation du second degré
Étant donné un complexe Z, calculons z tel que (figure 6) :
Posons Z = ρejθ et z = r ejα, on obtient :
et :
c’est-à-dire deux racines opposées selon que k est pair ou impair.
Tout nombre complexe non nul Z = ρejθ a deux racines carrées opposées :
et :
Z = 0 admet la racine carrée unique 0.
On évite, dans
, l’écriture
: pour cela, il faudrait adopter une convention pour distinguer les deux racines carrées, mais il s’est avéré que cette démarche présente plus d’inconvénients que d’avantages.
De même, il est incorrect d’écrire «
» qui désignerait aussi bien j que – j (j2 = (– j)2 = –1).
Dans
...
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