Les données sont collectées pour aider à la prise de décision. La statistique inférentielle permet de spécifier du mieux possible le modèle probabiliste qui a engendré ces données. Le problème de décision, étudié dans ce présent article, consiste à trancher entre deux hypothèses, au vu des observations. Les différentes questions que l’on peut se poser et qui amènent à des problèmes de tests de nature différente sont explicitées à partir d'un exemple concret.
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Nathalie CHÈZE
: Statisticienne - Maître de conférences à l’université Paris X-MODALX
INTRODUCTION
Dans de nombreux domaines, on est amené à prendre des décisions au vu de données collectées. La statistique inférentielle : estimation, développée dans l’article Statistique inférentielle- Estimation, fournit des éléments permettant de spécifier du mieux possible, à partir de ces observations, le modèle probabiliste qui a engendré les données : détermination du modèle, estimation des paramètres inconnus et validation du modèle.
Le problème de décision, étudié dans ce présent article, consiste à trancher entre deux hypothèses, au vu des observations. Nous allons présenter sur un exemple concret les différentes questions que l’on peut se poser et qui amènent à des problèmes de tests de nature différente.
Considérons la modélisation statistique (Ω,
, (Pθ )θ ∈Θ ). On suppose que la loi Pθ de X est connue, de paramètre θ ∈ Θ ∈
inconnu.
Nous supposons que Θ est divisé en une partie Θ0 et son complémentaire Θ1 . Les tests paramétriques permettent de tester l’hypothèse H0 : θ ∈ Θ0 contre l’hypothèse H1 : θ ∈ Θ1 . Sous ces hypothèses, le risque de première espèce (resp. de deuxième espèce) peut s’écrire α (θ ) = P θ (W ), θ ∈ Θ0 (resp. β (θ ) = 1 – P θ (W ), θ ∈ Θ1). On appelle niveau du test la constante
P θ (W ).
Les ensembles Θ0 et Θ1 peuvent prendre plusieurs formes, ce qui nous amène à étudier plusieurs situations.
Cas (1) : test d’une hypothèse simple contre une hypothèse simple : Θ = {θ0 , θ1}
On peut remarquer que, dans ce cas, le niveau du test est égal à α et le risque de deuxième espèce vaut β = 1 –
(W ).
Cas (2) : test d’une hypothèse simple contre une hypothèse multiple :
...
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Bibliographie & annexes
En anglais
Quelques tests non paramétriques
, (Pθ )θ ∈Θ ). On suppose que la loi Pθ de X est connue, de paramètre θ ∈ Θ ∈
inconnu.
P θ (W ).
(W ).
: - EstimationStatistique inférentielle- EstimationStatistique inférentielle- Estimation. Tables statistiques (2003).
