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RÉSUMÉ
Un grand nombre de domaines de la mécanique, conception, robotique, mécanique des milieux continus… tirent grand profit des logiciels de calcul formel tel Maple. Cet article détaille tout d’abord comment ces nouveaux outils, capables de venir à bout de calculs fastidieux, permettent de résoudre des problèmes d’intégration liés à la détermination des caractéristiques inertielles des solides. L’exemple du pendule d’Euler et celui du roulement sans glissement d’une roue sont utilisés pour illustrer les équations de Lagrange. Ensuite, sont traitées la génération puis la résolution des systèmes différentiels de la mécanique et de mouvement voisin de l’équilibre.
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Philippe LONJOU : Professeur agrégé de mécanique Institut national des sciences appliquées (INSA) de Lyon
INTRODUCTION
La première partie de ce dossier nous a permis d'entrevoir les possibilités offertes par un logiciel de calcul formel. La seconde partie va nous permettre, dans un premier temps, de résoudre des problèmes de calcul d'intégration liés à la détermination des caractéristiques inertielles des solides, mais surtout, dans un second temps, de générer et de résoudre des systèmes d'équations différentielles.
Ces équations différentielles nous permettront d'obtenir les lois des mouvements des mécanismes étudiés.
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Équilibre – Stabilité
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5. Étude de la résolution des systèmes différentiels de la dynamique
En prenant comme seul exemple le pendule d'Euler, nous exposerons les différentes manières de résoudre le système d'équations du mouvement.
Pour cette étude, les paramètres inertiels et dimensionnels sont fixés, ainsi que les conditions initiales du mouvement :
5.1 Linéarisation autour d'une position stationnaire
Dans ce premier cas, nous reprenons les équations de Lagrange déjà calculées dans un paragraphe précédent.
On suppose connue la position de l'état stationnaire. Ici, pour x* ≥ 0,5 ; θ* ≥ 0 :
>restart:with(LinearAlgebra):with(PDEtools):declare (prime):with(plots):
>eq_L_x:≥-m*sin(theta(t))*diff(theta(t),t)^2*L+(M+m)*diff(x(t),t,t)+ m*cos(theta(t))*diff(theta(t),t,t)*L≥-k*x(t);
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