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RÉSUMÉ
De nos jours, les problèmes d'optimisation continue linéaires ou convexes sont résolus assez facilement. Cependant, il n’en est pas de même d’applications industrielles imposant des contraintes d'intégrité sur tout ou partie des variables. Cet article introduit les principaux concepts et les principales méthodes algorithmiques pour la résolution de problèmes en nombres entiers en mettant l'accent sur les méthodes exactes. Tout d’abord, le sujet est illustré à travers un exemple en productique, faisant apparaître des caractéristiques distinctes des problèmes en nombres entiers par rapport à l'optimisation continue. Ensuite, l’ensemble des principaux outils théoriques et algorithmiques permettant d'aborder la résolution exacte de tels problèmes est présenté.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Michel MINOUX : Professeur à l'Université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6
INTRODUCTION
Les problèmes d'optimisation continue linéaires ou convexes sont résolus très efficacement. Par exemple, on résout couramment aujourd'hui des programmes linéaires continus ayant des dizaines, voire des centaines, de milliers de variables et de contraintes. Cependant, les applications industrielles imposent très fréquemment des contraintes d'intégrité sur tout ou partie des variables ; les problèmes qui en résultent sont généralement beaucoup plus difficiles que leurs versions continues. Les progrès réalisés depuis une vingtaine d'années permettent de résoudre efficacement beaucoup de ces problèmes, souvent de taille importante, mais on peut encore rencontrer aujourd'hui des problèmes comportant seulement quelques centaines de variables entières et de contraintes qui ne peuvent être résolus exactement en un temps raisonnable, disons en moins de quelques heures de calcul. Le présent dossier propose une vue d'ensemble des principaux outils théoriques et algorithmiques permettant d'aborder la résolution exacte de tels problèmes en mentionnant quelques-unes des applications les plus importantes.
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4. Résolution exacte des programmes linéaires en nombres entiers
Nous présentons dans ce paragraphe les idées qui fondent les principales méthodes connues de résolution exacte des programmes linéaires en nombres entiers. L'ordre de notre présentation suit pratiquement la chronologie selon laquelle ont été successivement développées les différentes méthodes. R. Gomory a été, dès la fin des années 1950, le pionnier du premier courant de recherche consistant à généraliser l'algorithme du simplexe pour prendre en compte les conditions d'intégrité sur les variables. Cette approche est décrite et illustrée dans le paragraphe 4.1. La deuxième approche, qui suit historiquement de peu la première, est connue sous le nom de « recherche arborescente par séparation et évaluation » (Branch & Bound) et est décrite au paragraphe 4.2. La troisième approche, connue depuis le début des années 1980 sous le nom de « combinatoire polyédrique » peut être considérée comme une combinaison des deux précédentes. Le paragraphe 4.3 lui est consacré.
4.1 Méthode des « coupes de Gomory »
L'idée de base de la méthode des coupes exploite l'efficacité bien connue de l'algorithme du simplexe, en particulier dans la fonction de réoptimisation. Lorsque l'on a obtenu la solution optimale d'un programme linéaire, il est souvent facile de déterminer la solution optimale d'un autre programme linéaire très peu différent du précédent (ajout ou retrait d'une colonne ou d'une contrainte, changement de quelques coefficients de la matrice des contraintes ou des seconds membres). Quelques pivots supplémentaires peuvent suffire, si l'on prend comme base de départ la base optimale du problème précédent.
La méthode proposée par Gomory [22] [23] consiste en un mécanisme d'adjonctions successives de contraintes supplémentaires (appelées « Coupes de Gomory »). Ces contraintes supplémentaires, choisies de façon à éliminer la solution optimale fractionnaire courante sans éliminer aucune solution entière...
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Résolution exacte des programmes linéaires en nombres entiers
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BALAS (E.) - An Additive Algorithm for Solving Linear Programs with Zero-one Variables. - Operations Research, 13, 4, p. 517-546 (1965).
-
(2) - BALAS (E.) - Disjunctive Programming. - Annals of Discrete Mathematics, 5, p. 3-51 (1979).
-
(3) - BALAS (E.), CERIA (S.), CORNUEJOLS (G.) - Mixed 0-1 Programming by Lift & Project in a Branch-and-Cut Framework. - Management, 42, p. 1229-1246 (1996).
-
(4) - BALAS (E.), CERIA (S.), CORNUEJOLS (G.), NATRAJ (N.R.) - Gomory Cuts revisited. - Operations Research Letters, 19, p. 1-9 (1996).
-
(5) - BERTIER (P.), ROY (B.) - Une Procédure de résolution pour une classe de problèmes pouvant avoir un caractère combinatoire. - Cahiers du Centre d'Études de recherche Opérationnelle, 6, p. 202-208 (1964).
-
(6) - BLAND (R.G.) - A Combinatorial Abstraction of Linear...
ANNEXES
1.1 Logiciels de résolution de programmes linéaires continus et en nombres entiers
COIN (en libre accès) http://www.coin-or.org
CPLEX http://www.ilog.com/produits/cplex
XPRESS-MP http://www.dashoptimization.com/home/products
HAUT DE PAGE
Congrès annuel de la ROADEF (recherche opérationnelle et d'aide à la décision), France.
Congrès annuel INFORMS (Institute For Operations Research and The Management Sciences), USA.
Congrès annuel européen de recherche opérationnelle EURO.
Congrès SMAI (tous les 4 ans).
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