Présentation
RÉSUMÉ
De nos jours, les problèmes d'optimisation continue linéaires ou convexes sont résolus assez facilement. Cependant, il n’en est pas de même d’applications industrielles imposant des contraintes d'intégrité sur tout ou partie des variables. Cet article introduit les principaux concepts et les principales méthodes algorithmiques pour la résolution de problèmes en nombres entiers en mettant l'accent sur les méthodes exactes. Tout d’abord, le sujet est illustré à travers un exemple en productique, faisant apparaître des caractéristiques distinctes des problèmes en nombres entiers par rapport à l'optimisation continue. Ensuite, l’ensemble des principaux outils théoriques et algorithmiques permettant d'aborder la résolution exacte de tels problèmes est présenté.
Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.
Lire l’articleABSTRACT
At this time, issues of convex or linear continuous optimization are quite easy to solve. The same does not apply to industrial applications imposing integrity constraints on all or a part of the variables. This article introduces the main concepts and algorithmic methods for the resolution of problems in integers by focusing on exact methods. The subject matter is illustrated through an industrial automation example highlighting characteristics distinct from problems in integers regarding continuous optimization. The principal theoretical and algorithmic tools allowing for the exact resolution of such problems is then presented.
Auteur(s)
-
Michel MINOUX : Professeur à l'Université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6
INTRODUCTION
Les problèmes d'optimisation continue linéaires ou convexes sont résolus très efficacement. Par exemple, on résout couramment aujourd'hui des programmes linéaires continus ayant des dizaines, voire des centaines, de milliers de variables et de contraintes. Cependant, les applications industrielles imposent très fréquemment des contraintes d'intégrité sur tout ou partie des variables ; les problèmes qui en résultent sont généralement beaucoup plus difficiles que leurs versions continues. Les progrès réalisés depuis une vingtaine d'années permettent de résoudre efficacement beaucoup de ces problèmes, souvent de taille importante, mais on peut encore rencontrer aujourd'hui des problèmes comportant seulement quelques centaines de variables entières et de contraintes qui ne peuvent être résolus exactement en un temps raisonnable, disons en moins de quelques heures de calcul. Le présent dossier propose une vue d'ensemble des principaux outils théoriques et algorithmiques permettant d'aborder la résolution exacte de tels problèmes en mentionnant quelques-unes des applications les plus importantes.
DOI (Digital Object Identifier)
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(202 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Présentation
1. Contexte
Un problème d'optimisation en nombres entiers sous contraintes se pose, de façon générale, comme la recherche du minimum (ou du maximum) d'une fonction réelle de n variables réelles
sur un sous-ensemble X de
donné, appelé ensemble des solutions admissibles. On peut, sans perte de généralité, supposer X décrit comme l'ensemble des points de
satisfaisant un certain nombre de conditions (contraintes) de deux types :
-
(a) des contraintes (dites algébriques) de la forme
, i ≥ 1, ..., m (ici les gi sont des fonctions
que l'on suppose le plus souvent continûment différentiables) ;
-
(b) des contraintes (dites d'intégrité) de la forme
pour les variables correspondant à un sous-ensemble d'indices J
{1, 2, ..., n}.
Ainsi, le modèle général pour un problème d'optimisation en nombres entiers PNE est (cas de la minimisation) :
![](figures/ul-af1251niv10001/1/sl4804593-web.gif)
Lorsque, dans un problème en nombres entiers, on décide de relâcher les contraintes d'intégrité, on obtient un problème d'optimisation continue :
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(202 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Contexte
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BALAS (E.) - An Additive Algorithm for Solving Linear Programs with Zero-one Variables. - Operations Research, 13, 4, p. 517-546 (1965).
-
(2) - BALAS (E.) - Disjunctive Programming. - Annals of Discrete Mathematics, 5, p. 3-51 (1979).
-
(3) - BALAS (E.), CERIA (S.), CORNUEJOLS (G.) - Mixed 0-1 Programming by Lift & Project in a Branch-and-Cut Framework. - Management, 42, p. 1229-1246 (1996).
-
(4) - BALAS (E.), CERIA (S.), CORNUEJOLS (G.), NATRAJ (N.R.) - Gomory Cuts revisited. - Operations Research Letters, 19, p. 1-9 (1996).
-
(5) - BERTIER (P.), ROY (B.) - Une Procédure de résolution pour une classe de problèmes pouvant avoir un caractère combinatoire. - Cahiers du Centre d'Études de recherche Opérationnelle, 6, p. 202-208 (1964).
-
(6) - BLAND (R.G.) - A Combinatorial Abstraction...
ANNEXES
1.1 Logiciels de résolution de programmes linéaires continus et en nombres entiers
COIN (en libre accès) http://www.coin-or.org
CPLEX http://www.ilog.com/produits/cplex
XPRESS-MP http://www.dashoptimization.com/home/products
HAUT DE PAGE
Congrès annuel de la ROADEF (recherche opérationnelle et d'aide à la décision), France.
Congrès annuel INFORMS (Institute For Operations Research and The Management Sciences), USA.
Congrès annuel européen de recherche opérationnelle EURO.
Congrès SMAI (tous les 4 ans).
...Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(202 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive