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EnglishRÉSUMÉ
De nos jours, les problèmes d'optimisation continue linéaires ou convexes sont résolus assez facilement. Cependant, il n’en est pas de même d’applications industrielles imposant des contraintes d'intégrité sur tout ou partie des variables. Cet article introduit les principaux concepts et les principales méthodes algorithmiques pour la résolution de problèmes en nombres entiers en mettant l'accent sur les méthodes exactes. Tout d’abord, le sujet est illustré à travers un exemple en productique, faisant apparaître des caractéristiques distinctes des problèmes en nombres entiers par rapport à l'optimisation continue. Ensuite, l’ensemble des principaux outils théoriques et algorithmiques permettant d'aborder la résolution exacte de tels problèmes est présenté.
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-
Michel MINOUX : Professeur à l'Université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6
INTRODUCTION
Les problèmes d'optimisation continue linéaires ou convexes sont résolus très efficacement. Par exemple, on résout couramment aujourd'hui des programmes linéaires continus ayant des dizaines, voire des centaines, de milliers de variables et de contraintes. Cependant, les applications industrielles imposent très fréquemment des contraintes d'intégrité sur tout ou partie des variables ; les problèmes qui en résultent sont généralement beaucoup plus difficiles que leurs versions continues. Les progrès réalisés depuis une vingtaine d'années permettent de résoudre efficacement beaucoup de ces problèmes, souvent de taille importante, mais on peut encore rencontrer aujourd'hui des problèmes comportant seulement quelques centaines de variables entières et de contraintes qui ne peuvent être résolus exactement en un temps raisonnable, disons en moins de quelques heures de calcul. Le présent dossier propose une vue d'ensemble des principaux outils théoriques et algorithmiques permettant d'aborder la résolution exacte de tels problèmes en mentionnant quelques-unes des applications les plus importantes.
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3. Méthodes de programmation linéaire continue
Nous rappelons rapidement dans ce paragraphe les deux principales approches utilisées en pratique pour la résolution des programmes linéaires continus :
-
la méthode du simplexe [13] [14] ;
-
les méthodes de points intérieurs [30].
3.1 Algorithme du simplexe
La méthode dite du simplexe [13] [14] est très classique. Nous nous contentons ici de la rappeler dans sa forme primale dite « révisée » plutôt que dans sa forme primitive (la méthode dite « du tableau »). En effet, c'est la méthode sous forme révisée qui est mise en œuvre dans tous les logiciels performants (par exemple, COIN, CPLEX, XPRESS-MP, cf. [Doc. AF 1 251] .
De façon très classique, nous considérons le problème de programmation linéaire à résoudre donné sous forme standard, c'est-à-dire que toutes les contraintes sont des égalités et on a une condition de positivité sur chaque variable (on montre aisément que tout programme linéaire peut, moyennant, si nécessaire, l'introduction de variables supplémentaires, se ramener à une forme standard).
Un problème de programmation linéaire (PL) se présente donc comme :
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Méthodes de programmation linéaire continue
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BALAS (E.) - An Additive Algorithm for Solving Linear Programs with Zero-one Variables. - Operations Research, 13, 4, p. 517-546 (1965).
-
(2) - BALAS (E.) - Disjunctive Programming. - Annals of Discrete Mathematics, 5, p. 3-51 (1979).
-
(3) - BALAS (E.), CERIA (S.), CORNUEJOLS (G.) - Mixed 0-1 Programming by Lift & Project in a Branch-and-Cut Framework. - Management, 42, p. 1229-1246 (1996).
-
(4) - BALAS (E.), CERIA (S.), CORNUEJOLS (G.), NATRAJ (N.R.) - Gomory Cuts revisited. - Operations Research Letters, 19, p. 1-9 (1996).
-
(5) - BERTIER (P.), ROY (B.) - Une Procédure de résolution pour une classe de problèmes pouvant avoir un caractère combinatoire. - Cahiers du Centre d'Études de recherche Opérationnelle, 6, p. 202-208 (1964).
-
(6) - BLAND (R.G.) - A Combinatorial Abstraction of Linear...
ANNEXES
1.1 Logiciels de résolution de programmes linéaires continus et en nombres entiers
COIN (en libre accès) http://www.coin-or.org
CPLEX http://www.ilog.com/produits/cplex
XPRESS-MP http://www.dashoptimization.com/home/products
HAUT DE PAGE
Congrès annuel de la ROADEF (recherche opérationnelle et d'aide à la décision), France.
Congrès annuel INFORMS (Institute For Operations Research and The Management Sciences), USA.
Congrès annuel européen de recherche opérationnelle EURO.
Congrès SMAI (tous les 4 ans).
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