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RÉSUMÉ
Cet article est consacré à l’algèbre numérique linéaire et non linéaire. Sont exposées dans un premier temps les méthodes de calcul des racines d’une équation non linéaire à une inconnue, puis celles d’un polynôme, pour conduire à la résolution d’équations non linéaires. Sont abordées ensuite les méthodes numériques pour résoudre les équations linéaires, les directes comme les itératives. Pour terminer, est traité le calcul des valeurs et des vecteurs propres d’une matrice par des méthodes itératives.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Claude BREZINSKI : Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’université des Sciences et Technologies de Lille
INTRODUCTION
Ce second dossier sur les méthodes numériques de base concerne l’algèbre numérique linéaire et non linéaire.
Le premier paragraphe est consacré aux méthodes itératives pour calculer les racines d’une équation non linéaire à une inconnue (ou, ce qui revient au même, les points fixes d’une fonction). On traite ensuite le cas particulier de la recherche des racines d’un polynôme. Le paragraphe se termine par les méthodes de résolution des systèmes d’équations non linéaires.
On étudie ensuite les méthodes numériques pour résoudre les systèmes d’équations linéaires. Ces méthodes se divisent en deux classes : les méthodes directes qui fournissent la solution exacte en un nombre fini d’opérations arithmétiques (en supposant nulles les erreurs dues à l’arithmétique de l’ordinateur) et les méthodes itératives qui génèrent une suite de vecteurs convergeant (sous certaines conditions) vers la solution exacte. Pour les systèmes de très grandes dimensions, il est impératif d’utiliser une méthode itérative.
On passe enfin, dans le dernier paragraphe, aux méthodes numériques pour calculer les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice. Ces méthodes sont toutes des méthodes itératives.
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Résolution des systèmes d’équations linéaires
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1. Résolution des équations et des systèmes non linéaires
Soit f une application continue de
dans lui-même. Le problème auquel nous allons nous intéresser dans ce paragraphe est celui de la recherche de x tel que f (x ) = 0. On dit alors que x est racine de f. Une autre façon, complètement équivalente, de poser le même problème est de rechercher x tel que x = F (x ). On dit alors que x est point fixe de F. Dans la suite, quand nous utiliserons la lettre f (dans un théorème ou un algorithme), cela signifiera implicitement que le problème à résoudre est mis sous la forme f (x ) = 0. Quand nous utiliserons la lettre F, cela signifiera que notre problème est écrit sous la forme x = F (x ). Ces deux formulations sont équivalentes car, s’il est sous la forme f (x ) = 0, on a également x = x + af (x ) = F (x ) avec a ¹ 0 quelconque. Inversement, si l’on a x = F (x ), alors on pourra écrire f (x ) = x – F (x ) = 0.
1.1 Méthode des approximations successives
Pour résoudre numériquement ce type de problème, on utilise une méthode itérative dans laquelle on fabrique une suite (xn ) qui doit converger vers x. On se donne une valeur initiale x 0 puis on fabrique (xn ) par la méthode des approximations successives :
Étudions d’abord des conditions pour que (xn ) converge vers x point fixe de F et commençons par la définition 1.
Définition 1 – Soit D une partie de
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