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Auteur(s)
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Gilles GODEFROY : Directeur de recherches au Centre national de la recherche scientifique (CNRS)
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Les notions présentées dans cet exposé, première partie d’un ensemble traitant de l’analyse fonctionnelle, concernent plus particulièrement :
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les espaces normés de dimension finie ; ce sont ceux pour lesquels un calcul effectif, utilisant les coordonnées (en nombre fini !) des vecteurs est possible. Du point de vue de l’analyse fonctionnelle, ils sont caractérisés par le fait qu’ils contiennent des ensembles compacts d’intérieur non vide : dimension finie et compacité sont donc intimement liées ;
-
les espaces de Hilbert ; en particulier, l’espace de Hilbert séparable est le paradis des analystes. Il constitue un cadre naturel où se conjuguent des idées géométriques (orthogonalité, théorème de Pythagore…), algébriques (valeurs propres, théorie spectrale…) et analytiques (séries et transformation de Fourier) ;
-
les espaces de Banach non euclidiens ; par exemple, l’espace des fonctions continues ou celui des fonctions intégrables sur un segment ne sont pas des espaces de Hilbert. Il nous faut pourtant les considérer si nous voulons montrer l’existence de solutions d’équations différentielles, ou développer le calcul des probabilités.
C’est donc dans la seconde partie ([AF 101]) que nous aborderons :
-
les espaces fonctionnels non normables ;
-
la transformation de Fourier ;
-
le calcul des probabilités.
Les connaissances exigées pour aborder cette présentation de l’analyse fonctionnelle nécessitent d’être à l’aise avec les bases de la topologie. Ces bases sont présentées dans l’article [AF 99] « Topologie et mesure » de ce traité .
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Espaces de Hilbert
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1. Espaces normés de dimension finie
Soit N 1 et N 2 deux normes sur le même espace vectoriel E. Nous disons que N 1 et N 2 sont équivalentes s’il existe α > 0 et β > 0 tels que :
pour tout
.
Il est facile de vérifier qu’on définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes sur E.
Le cas de la dimension finie donne lieu à un théorème d’unicité de la structure d’espace normé.
Théorème 1
Soit
(ou
) un espace vectoriel de dimension finie. Toutes les normes sur E sont équivalentes.
Preuve. ¨ On pose
(ou
). On considère la norme
...
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