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RÉSUMÉ
Les équations aux différences sont le support de nombreux algorithmes d’analyse numérique et sont également omniprésentes en combinatoire. Quelques définitions et exemples ouvrent cet article. Puis, les équations aux différences linéaires scalaires et à coefficients non constants sont exposées. Les systèmes linéaires aux différences à singularité sont ensuite longuement étudiés. Ils sont abordés au travers entre autres de l’analyse des premières réductions des systèmes aux différences, de la réductibilité des systèmes linéaires aux différences inversibles, de l’ordre d’un système linéaire aux différences, etc.
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Difference equations are at the root of many numerical analysis algorithms and are equally pervasive in combinatorics. This article opens with a few definitions and examples, followed by a discussion of scalar linear difference equations and non-constant coefficient equations. Singular linear difference systems are then examined in depth. One of the ways they are approached is through firstly analyzing reductions of difference systems, the reducibility of invertible difference linear systems, the order of a difference linear system, etc.
Auteur(s)
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Guoting CHEN : Maître de conférences, laboratoire Paul-Painlevé, CNRS - UFR de mathématiques, université de Lille-1
-
Jean DELLA DORA : Professeur, laboratoire Jean-Kuntzmann, CNRS - Institut national polytechnique de Grenoble (INPG), université Joseph-Fourier
INTRODUCTION
Les équations aux différences sont à la base de l'analyse appliquée depuis L. Euler, P. L. Tchebycheff et A. A. Markov. Actuellement, elles sont le support de nombreux algorithmes d'analyse numérique et omniprésentes en combinatoire.
Mais peut-on parler de théorie des équations aux différences ?
La réponse est certainement non. Les équations aux différences non linéaires restent un sujet difficile et d'actualité pour les mathématiciens (au même titre que les équations différentielles ordinaires, voir à ce sujet les articles « Équations différentielles linéaires » [AF 103] et « Équations différentielles » [AF 652]).
Cependant, une partie de la théorie est bien comprise : c'est la partie relative aux équations aux différences linéaires. Dans cet exposé nous nous limitons à en exposer les points fondamentaux.
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Équations aux différences linéaires scalaires
En anglais
1. Définitions et exemples
L'article se compose de deux parties : la première survole le point de vue suivant lequel une équation aux différences linéaire est interprétée comme étant une application linéaire de l'espace des suites à valeurs complexes
dans lui-même. La deuxième partie considère une équation aux différences linéaire comme agissant sur des fonctions complexes à valeurs complexes (la théorie en est plus difficile et n'existe, du point de vue algorithmique, que depuis quelques années).
Nous avons pris le parti de mettre en évidence les méthodes actuelles pour étudier cette théorie. Un souci de motivation nous a guidé et nous renvoyons aux documents les plus récents pour les développements, nécessairement plus techniques. De ce fait, nous nous écartons beaucoup des traités classiques auxquels nous renvoyons pour les méthodes standards (qui sont un complément indispensable à ce court texte) et, en particulier le traitement des équations non homogènes Équations aux différences[6] Équations aux différences[15].
désigne l'espace vectoriel complexe des suites à valeurs complexes. Si nous définissons le produit de deux suites par :
alors
possède une structure d'anneau.
Définition 1 Si F désigne une fonction définie sur
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