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RÉSUMÉ
Les équations aux différences sont le support de nombreux algorithmes d’analyse numérique et sont également omniprésentes en combinatoire. Quelques définitions et exemples ouvrent cet article. Puis, les équations aux différences linéaires scalaires et à coefficients non constants sont exposées. Les systèmes linéaires aux différences à singularité sont ensuite longuement étudiés. Ils sont abordés au travers entre autres de l’analyse des premières réductions des systèmes aux différences, de la réductibilité des systèmes linéaires aux différences inversibles, de l’ordre d’un système linéaire aux différences, etc.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Guoting CHEN : Maître de conférences, laboratoire Paul-Painlevé, CNRS - UFR de mathématiques, université de Lille-1
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Jean DELLA DORA : Professeur, laboratoire Jean-Kuntzmann, CNRS - Institut national polytechnique de Grenoble (INPG), université Joseph-Fourier
INTRODUCTION
Les équations aux différences sont à la base de l'analyse appliquée depuis L. Euler, P. L. Tchebycheff et A. A. Markov. Actuellement, elles sont le support de nombreux algorithmes d'analyse numérique et omniprésentes en combinatoire.
Mais peut-on parler de théorie des équations aux différences ?
La réponse est certainement non. Les équations aux différences non linéaires restent un sujet difficile et d'actualité pour les mathématiciens (au même titre que les équations différentielles ordinaires, voir à ce sujet les articles « Équations différentielles linéaires » [AF 103] et « Équations différentielles » [AF 652]).
Cependant, une partie de la théorie est bien comprise : c'est la partie relative aux équations aux différences linéaires. Dans cet exposé nous nous limitons à en exposer les points fondamentaux.
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Définitions et exemples
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5. Conclusion
L'algorithmique de la théorie des équations aux différences s'est considérablement développée ces dernières années en permettant de donner un cadre général et complet pour les équations ou systèmes aux différences linéaires. Ce travail complète les études menées dans le cas des équations différentielles linéaires à singularités régulières ou irrégulières.
Plusieurs programmes universitaires existent pour cette théorie. D'autres domaines commencent à être explorés par des techniques étendant celles exposées dans cet article : les équations non linéaires différentielles ou aux différences, les équations différentielles algébriques, les équations avec paramètres.
Le calcul numérique effectif des solutions à partir des solutions formelles trouvées par les algorithmes précédents est un problème difficile qui fait appel à des théories de resommation.
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