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RÉSUMÉ
Les équations aux différences sont le support de nombreux algorithmes d’analyse numérique et sont également omniprésentes en combinatoire. Quelques définitions et exemples ouvrent cet article. Puis, les équations aux différences linéaires scalaires et à coefficients non constants sont exposées. Les systèmes linéaires aux différences à singularité sont ensuite longuement étudiés. Ils sont abordés au travers entre autres de l’analyse des premières réductions des systèmes aux différences, de la réductibilité des systèmes linéaires aux différences inversibles, de l’ordre d’un système linéaire aux différences, etc.
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Difference equations are at the root of many numerical analysis algorithms and are equally pervasive in combinatorics. This article opens with a few definitions and examples, followed by a discussion of scalar linear difference equations and non-constant coefficient equations. Singular linear difference systems are then examined in depth. One of the ways they are approached is through firstly analyzing reductions of difference systems, the reducibility of invertible difference linear systems, the order of a difference linear system, etc.
Auteur(s)
-
Guoting CHEN : Maître de conférences, laboratoire Paul-Painlevé, CNRS - UFR de mathématiques, université de Lille-1
-
Jean DELLA DORA : Professeur, laboratoire Jean-Kuntzmann, CNRS - Institut national polytechnique de Grenoble (INPG), université Joseph-Fourier
INTRODUCTION
Les équations aux différences sont à la base de l'analyse appliquée depuis L. Euler, P. L. Tchebycheff et A. A. Markov. Actuellement, elles sont le support de nombreux algorithmes d'analyse numérique et omniprésentes en combinatoire.
Mais peut-on parler de théorie des équations aux différences ?
La réponse est certainement non. Les équations aux différences non linéaires restent un sujet difficile et d'actualité pour les mathématiciens (au même titre que les équations différentielles ordinaires, voir à ce sujet les articles « Équations différentielles linéaires » [AF 103] et « Équations différentielles » [AF 652]).
Cependant, une partie de la théorie est bien comprise : c'est la partie relative aux équations aux différences linéaires. Dans cet exposé nous nous limitons à en exposer les points fondamentaux.
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Systèmes linéaires aux différences à singularité
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3. Équations aux différences linéaires à coefficients non constants
Ce sont des équations associées à un opérateur L = a 0 τ r + ... + a r , mais, maintenant, les a i sont des fonctions de n. On écrira donc, pour tout entier n :
pour une équation non homogène.
Nous allons considérer le cas des équations homogènes.
Comment suivre la même démarche que dans le cas des équations à coefficients constants ?
Il faut tout d'abord comprendre l'arithmétique de ces opérateurs et se poser la question de la possibilité d'une décomposition de l'opérateur L.
Pour cela, il faut faire des hypothèses sur l'ensemble auquel appartiennent les coefficients a i . Classiquement, on commence par supposer que ces coefficients sont des fractions rationnelles en la variable n. On introduit donc le corps
des fractions rationnelles en n.
Ce corps possède un automorphisme (injectif) que nous avons déjà rencontré, c'est τ :
Si
alors :
On introduit alors l'ensemble des polynômes (associée à τ ) sur
, que l'on pourrait noter :
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