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Auteur(s)
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Gilles CHÂTELET : Ancien Élève de l’École Normale Supérieure de St-Cloud - Docteur ès Sciences Mathématiques - Professeur à l’Université de Paris VIII
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Lire l’articleINTRODUCTION
En mécanique classique, et spécialement en mécanique newtonienne, les effets physiques résultent des forces agissant sur les corps solides. Comme objet mathématique, la force est un vecteur. Il existe une définition intrinsèque purement opératoire des vecteurs comme éléments d’un espace vectoriel E sur un corps K (article Calcul matriciel dans le présent traité). Nous verrons 1.1 qu’il existe une autre définition des vecteurs, plus satisfaisante pour le physicien, et d’ailleurs plus fructueuse d’inspiration pour le mathématicien. Certains domaines de la physique, en particulier la mécanique des milieux continus (article [A 303] Déformation et contraintes dans un milieu continu et autres articles de la rubrique Calcul des structures dans le présent traité), privilégient d’autres concepts mathématiques : en particulier le concept de tenseur.
Il existe deux définitions équivalentes des tenseurs en dimension finie (dans la suite de cet article, nous nous limiterons au calcul tensoriel sur les espaces de dimension finie) :
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le calcul tensoriel intrinsèque, qui est l’introduction d’une multiplication formelle sur un espace vectoriel ;
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le calcul tensoriel des physiciens : un tenseur est un tableau de nombres attaché à une base particulière de l’espace vectoriel E et se transforme suivant une loi donnée par changement de base.
Le présent article comprend quatre paragraphes :
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un premier paragraphe précise, pour les vecteurs et les formes, les notions de covariance et de contravariance ;
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un deuxième paragraphe, inspiré par l’exemple précédent, donne les définitions des tenseurs et établit leur équivalence ;
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un troisième paragraphe étudie spécifiquement le produit extérieur et la définition des déterminants ;
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le paragraphe 4 donne une application des tenseurs à la relativité restreinte et à l’électromagnétisme.
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Dualité. Covariance et contravariance dans un espace vectoriel
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4. Application du calcul tensoriel à la relativité restreinte
4.1 Introduction et rappels
Le calcul tensoriel trouve une application particulièrement remarquable dans la théorie de la relativité. Il ne faut pas y voir une simple illustration de la théorie des tenseurs. Le type de problèmes posés et l’historique de ces théories manifestent une espèce de stimulation réciproque. Il se trouve en effet que la possibilité d’exhiber un tenseur (comme objet intrinsèque de
§ 2.1) associé à une correspondance du type :
(tableaux de nombres indexés par des bases d’espace vectoriel et respectant la loi [16] détaillée § 2.3.2) n’est que la traduction mathématique du travail du physicien qui, ayant choisi un système de référence (horloge et règle), écrit des relations entre les quantités numériques attachées aux êtres physiques qui surgissent au cours des expériences effectuées dans ce système.
Rappelons brièvement les postulats physiques...
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