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Auteur(s)
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Gilles CHÂTELET : Ancien Élève de l’École Normale Supérieure de St-Cloud - Docteur ès Sciences Mathématiques - Professeur à l’Université de Paris VIII
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En mécanique classique, et spécialement en mécanique newtonienne, les effets physiques résultent des forces agissant sur les corps solides. Comme objet mathématique, la force est un vecteur. Il existe une définition intrinsèque purement opératoire des vecteurs comme éléments d’un espace vectoriel E sur un corps K (article Calcul matriciel dans le présent traité). Nous verrons 1.1 qu’il existe une autre définition des vecteurs, plus satisfaisante pour le physicien, et d’ailleurs plus fructueuse d’inspiration pour le mathématicien. Certains domaines de la physique, en particulier la mécanique des milieux continus (article [A 303] Déformation et contraintes dans un milieu continu et autres articles de la rubrique Calcul des structures dans le présent traité), privilégient d’autres concepts mathématiques : en particulier le concept de tenseur.
Il existe deux définitions équivalentes des tenseurs en dimension finie (dans la suite de cet article, nous nous limiterons au calcul tensoriel sur les espaces de dimension finie) :
-
le calcul tensoriel intrinsèque, qui est l’introduction d’une multiplication formelle sur un espace vectoriel ;
-
le calcul tensoriel des physiciens : un tenseur est un tableau de nombres attaché à une base particulière de l’espace vectoriel E et se transforme suivant une loi donnée par changement de base.
Le présent article comprend quatre paragraphes :
-
un premier paragraphe précise, pour les vecteurs et les formes, les notions de covariance et de contravariance ;
-
un deuxième paragraphe, inspiré par l’exemple précédent, donne les définitions des tenseurs et établit leur équivalence ;
-
un troisième paragraphe étudie spécifiquement le produit extérieur et la définition des déterminants ;
-
le paragraphe 4 donne une application des tenseurs à la relativité restreinte et à l’électromagnétisme.
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Application du calcul tensoriel à la relativité restreinte
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3. Tenseurs antisymétriques. Formes extérieures
3.1 Définition
Il existe, dans
(respectivement
), un sous‐espace vectoriel remarquable : celui des tenseurs antisymétriques, qui admettent deux définitions équivalentes :
-
a ) celle des mathématiciens : un tenseur antisymétrique p fois contravariant (respectivement covariant) est une forme multilinéaire antisymétrique sur
(respectivement
) vérifiant, pour vk ∊ E * (respectivement E ) :
t (v1 , …, vi , …, vj , …, vp ) = – t (v1 , …, vj , …, vi , …, vp )(on dit que t change de signe par transposition des indices i et j ) ;
-
b ) celle des physiciens : un tenseur antisymétrique p fois contravariant (respectivement covariant) est un système de n p nombres vérifiant :
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