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En anglais
RÉSUMÉ
Un procédé sommatoire consiste à attribuer une « somme » à une famille infinie d’éléments d’un espace vectoriel normé. Cet article présente la notion de somme pour des séries numériques, qui sont l'exemple le plus élémentaire pour les procédés de sommation. Des méthodes d'étude de la convergence sont abordées, avec également des exemples de calcul exact pour des sommes de ces séries numériques.
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Lire l’articleAuteur(s)
-
Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand
INTRODUCTION
Un procédé sommatoire consiste à attribuer une « somme » à une famille infinie d’éléments d’un espace vectoriel normé. Lorsque la famille est sommable (cf. article Familles sommables de ce traité), le plus simple est de lui attribuer la somme de cette famille sommable. Lorsqu’elle ne l’est pas, il convient de mettre en œuvre un procédé de sommation qui tienne compte de la situation réelle : ce peut être l’indexation de l'ensemble ou, encore, la nature du phénomène étudié. Lorsqu'il s’agit, par exemple, de décomposer un phénomène périodique qui fait apparaître des discontinuités, il est nécessaire de passer par un développement en série de Fourier qui ne correspond pas à une famille sommable : il s’agit soit d’une série indexée par
, soit même de la limite de sommes symétriques.
Dans cet article sont étudiées les séries numériques, qui constituent de loin l’exemple le plus élémentaire de procédé de sommation. Outre quelques méthodes d’étude de la convergence, on trouvera des exemples de calculs exacts de sommes de telles séries.
Dans l'article « Développements asymptotiques » Procédés sommatoires- Développements asymptotiques seront abordés les procédés d’évaluation asymptotique ou numérique de sommes, que ce soient des sommes finies ou des sommes de série. En relation avec ce sujet seront évoqués les produits infinis. On y trouvera aussi d’autres procédés de sommation.
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Calculs de sommes de séries
En anglais
1. Les séries
1.1 Définitions
Lorsque u est une suite d’éléments de E indexée par
ou, plus généralement, par une demi-droite
d’entiers, on appelle somme partielle d’indice n de la série de terme général un la somme :
Définition 1
On dit que la série de terme général un converge lorsque la suite (Sn) admet une limite dans E. On appelle alors cette limite la somme de la série.
Lorsque la série ne converge pas, on dit qu’elle diverge.
Notation. On note
la somme de la série convergente de terme général un. Il s’agit d’un élément de E. On remarquera que cette notation diffère de celle qui désigne la somme d’une famille sommable.
Si les séries de terme général un et vn convergent, il en va évidemment de même de la série de terme général λun + µvn ; de plus :
En particulier, si les séries de terme général un et vn convergent, la série de terme général un + vn est, elle aussi, convergente. De même, si la série de terme général un converge et si la série de terme général vn diverge, la série de terme général un...
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