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RÉSUMÉ
Un procédé sommatoire consiste à attribuer une « somme » à une famille infinie d’éléments d’un espace vectoriel normé. Cet article présente la notion de somme pour des séries numériques, qui sont l'exemple le plus élémentaire pour les procédés de sommation. Des méthodes d'étude de la convergence sont abordées, avec également des exemples de calcul exact pour des sommes de ces séries numériques.
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand
INTRODUCTION
Un procédé sommatoire consiste à attribuer une « somme » à une famille infinie d’éléments d’un espace vectoriel normé. Lorsque la famille est sommable (cf. article Familles sommables de ce traité), le plus simple est de lui attribuer la somme de cette famille sommable. Lorsqu’elle ne l’est pas, il convient de mettre en œuvre un procédé de sommation qui tienne compte de la situation réelle : ce peut être l’indexation de l'ensemble ou, encore, la nature du phénomène étudié. Lorsqu'il s’agit, par exemple, de décomposer un phénomène périodique qui fait apparaître des discontinuités, il est nécessaire de passer par un développement en série de Fourier qui ne correspond pas à une famille sommable : il s’agit soit d’une série indexée par
, soit même de la limite de sommes symétriques.
Dans cet article sont étudiées les séries numériques, qui constituent de loin l’exemple le plus élémentaire de procédé de sommation. Outre quelques méthodes d’étude de la convergence, on trouvera des exemples de calculs exacts de sommes de telles séries.
Dans l'article « Développements asymptotiques » Procédés sommatoires- Développements asymptotiques seront abordés les procédés d’évaluation asymptotique ou numérique de sommes, que ce soient des sommes finies ou des sommes de série. En relation avec ce sujet seront évoqués les produits infinis. On y trouvera aussi d’autres procédés de sommation.
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Les séries
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2. Calculs de sommes de séries
Nous passons en revue un certain nombre de techniques qui fournissent la valeur exacte de certaines sommes de séries.
2.1 Télescopages
Le principe est le suivant : si une suite u admet un terme général de la forme vn + 1 − vn , on peut exprimer les sommes partielles de la série de terme général un sous la forme :
de sorte que, si la suite v admet la limite
, on a :
On remarque que cette notion de télescopage s’étend aux cas où l’accroissement sur l’indice est 2, 3 ou un entier quelconque.
Soit
. On peut écrire
, et donc
.
Une extension de l’exemple précédent est constituée de suites données par un = R(n), où
n’admet que des pôles simples dont les différences mutuelles sont des entiers. On note di la différence entre xi et l’un des pôles, x1 par exemple, choisi de façon que les di soient positifs. On suppose en outre que
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