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En anglais
RÉSUMÉ
Cet article, le deuxième d’une série de trois, traite des logiques classiques qui donneront naissance à la logique mathématique à la fin du XIXe siècle. La logique des propositions est d’abord présentée. Ensuite, est exposée la logique des prédicats qui s’est imposée au tournant du XIXe et du XXe siècle, car admettant un plus grand pouvoir expressif. De nombreux exemples didactiques et applicatifs illustrent les propos. En annexe, sont listées les propriétés des connecteurs logiques et les formes logiques utilisées comme axiomes ou règles d’inférences, ainsi qu’une liste de notations.
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This article, the second in a series of three, deals with the classical logics which will give rise to mathematical logic at the end of the 19th century. The logic of propositions is first presented, which is the one introduced by Aristotle and which reigned for two thousand years. Next, the logic of predicates is exposed, which imposed itself at the turn of the 19th and 20th centuries, because it admitted greater expressive power. Many didactic and application examples illustrate many points. In the appendix are listed the properties of logical connectives and the logical forms used as axioms or rules of inference, as well as a list of notations.
Auteur(s)
-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
Cet article est le deuxième d’une série de trois sur la logique, dont le premier portait sur la « logique et la métalogique » [AF 88] et le troisième traitera des « logiques non classiques » [AF 91]. La lecture de [AF 88] n’est pas un préliminaire requis, même si elle permettrait de mieux comprendre le présent article, mais le lecteur pourra s’y reporter si besoin.
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MOTS-CLÉS
KEYWORDS
semantics | inference | syntax | argument | axiom
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Conclusion
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2. Logique des prédicats
Définition (logique des prédicats du premier ordre). La logique des prédicats du premier ordre (first-order, predicate logic or sentential logic or statement logic) est une branche de la logique qui traite de variables quantifiées, de sorte que plutôt que des propositions telles que « Socrate est un homme » de la logique des propositions, existent des formules telles que « Il existe x tel que x est Socrate et x est un homme ».
dans la suite de cet article la logique des prédicats (du premier ordre) sera simplement désignée sous le vocable simplifié de logique des prédicats.
Historiquement, il s’agit initialement d’une formalisation du langage et du raisonnement des mathématiques, proposée par G. Frege entre la fin du XIXe siècle et le début du XXe siècle, et « vulgarisé » par B. Russel et A. N. Whitehead (1910-1913). La logique des prédicats fut introduite auprès de la communauté mathématique par C. S. Peirce, qui en proposa le nom et grosso modo les notations. La logique des prédicats est considérée comme la forme moderne de la logique aristotélicienne de la Grèce antique.
dans la phrase « Mars est une planète », l’expression « est une planète » est un prédicat qui est relié au nom (symbole de constante) « Mars » pour former une phrase. Dans la phrase « Jupiter est plus grand que Mars », l’expression « est plus grand que » est un prédicat qui se relie aux deux noms, « Jupiter » et « Mars », pour constituer une phrase.
La logique des propositions constitue les fondations de la logique des prédicats (du premier ordre), qui étend le langage propositionnel en offrant une « granularité » plus fine en permettant d’écrire des formules qui dépendent de paramètres. Pour cela le langage des prédicats introduit les notions de variables, de symboles de fonctions et de relations, de termes et de quantificateurs. Les termes sont obtenus en combinant les variables au moyen des symboles de fonctions, les formules élémentaires sont obtenues en appliquant les symboles de relations à des termes.
Il existe deux types d’expressions bien formées : les termes...
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Logique des prédicats
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALLEN (C.), HAND (M.) - Logic Primer, - Massachusetts Institute of Technology, 2nd ed., xvii + 191 pages (2001).
-
(2) - ALLIOT (J.-M.), SCHIEX (T.), BRISSET (P.), GARCIA (F.) - Intelligence artificielle & informatique théorique, - Cépadues, 2nde éd., 543 pages (2002).
-
(3) - BELNA (J.-P.) - Histoire de la logique, - Ellipses, 165 pages (2014).
-
(4) - BERNADET (M.) - Introduction pratique aux logiques non classiques, - Hermann, vi + 203 pages (2011).
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(5) - BILANIUK (S.) - A Problem Course in Mathematical Logic, - Version 1.6, 154 pages (1994-2003).
-
(6) - BOCHEŃSKI (J.M.) - A Precis of Mathematical Logic, - Springer, 100 pages (1959).
- ...
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