Problème concret
Algèbre de Clifford et applications

Dans la littérature, on rencontre des concepts bien établis et des résultats suffisamment riches concernant des thèmes tels que l’approximation rationnelle de fonctions réelles à une variable réelle, polynômes orthogonaux réels à une variable réelle, l’accélération de convergence d’une suite réelle, etc. Quand on a besoin d’étendre ces mêmes concepts au cas vectoriel, on est confronté à l’insuffisance des structures algébriques d’un espace vectoriel. Ainsi par exemple, d’une manière empirique, une construction d’un « inverse » d’un vecteur non nul $x\in {ℝ}^d$ a été donnée par la formule $\frac{x}{{\Vert x\Vert }_2^2}$ et a été utilisée dans de nombreuses généralisations. Il est évident que cet « inverse » n’a aucun sens algébrique, étant donné l’absence, dans un espace vectoriel, d’une loi multiplicative interne et par conséquent d’un élément neutre. Cet « inverse » est désigné dans la littérature comme l’inverse de Samelson ou le pseudo-inverse de Moore-Penrose, pour mettre l’accent sur la carence de l’existence de l’inverse d’un vecteur au sens algébrique.

L’introduction de l’algèbre de Clifford universelle associée à un espace vectoriel réel ${ℝ}^d$ , muni d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, a été motivée par ce besoin de construire une loi multiplicative interne de telle sorte que la nouvelle structure (algèbre de Clifford) soit une algèbre, contenant l’espace ${ℝ}^d$ . L’algèbre est associative, non commutative. Le corps $ℂ$ , le corps  $ℍ$ des quaternions sont des premiers exemples simples d’algèbre de Clifford. Bien qu’elle ne soit pas intègre en général, tout vecteur non nul $x$ de ${ℝ}^d$ considéré comme espace vectoriel euclidien admet un inverse et un seul au sens algébrique, dans l’algèbre de Clifford associée à ${ℝ}^d$ et cet inverse coincide avec $\frac{x}{{\Vert x\Vert }_2^2}$ .

Dans cet article, à partir d’un exemple concret issu des concepts d’accélération de convergence de suites vectorielles, et après avoir souligné les difficultés rencontrées quand les approches sont basées seulement sur des calculs dans ${ℝ}^d$ , il est montré comment le recours à l’algèbre de Clifford associée permet de surmonter toutes ces difficultés et d’établir de nouveaux résultats et une meilleure compréhension.