Conclusion
Algèbre de Clifford et applications

Dans la littérature, on rencontre des concepts bien établis et des résultats suffisamment riches concernant des thèmes tels que l’approximation rationnelle de fonctions réelles à une variable réelle, polynômes orthogonaux réels à une variable réelle, l’accélération de convergence d’une suite réelle, etc. Quand on a besoin d’étendre ces mêmes concepts au cas vectoriel, on est confronté à l’insuffisance des structures algébriques d’un espace vectoriel. Ainsi par exemple, d’une manière empirique, une construction d’un « inverse » d’un vecteur non nul $x\in {ℝ}^d$ a été donnée par la formule $\frac{x}{{\Vert x\Vert }_2^2}$ et a été utilisée dans de nombreuses généralisations. Il est évident que cet « inverse » n’a aucun sens algébrique, étant donné l’absence, dans un espace vectoriel, d’une loi multiplicative interne et par conséquent d’un élément neutre. Cet « inverse » est désigné dans la littérature comme l’inverse de Samelson ou le pseudo-inverse de Moore-Penrose, pour mettre l’accent sur la carence de l’existence de l’inverse d’un vecteur au sens algébrique.

L’introduction de l’algèbre de Clifford universelle associée à un espace vectoriel réel ${ℝ}^d$ , muni d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, a été motivée par ce besoin de construire une loi multiplicative interne de telle sorte que la nouvelle structure (algèbre de Clifford) soit une algèbre, contenant l’espace ${ℝ}^d$ . L’algèbre est associative, non commutative. Le corps $ℂ$ , le corps  $ℍ$ des quaternions sont des premiers exemples simples d’algèbre de Clifford. Bien qu’elle ne soit pas intègre en général, tout vecteur non nul $x$ de ${ℝ}^d$ considéré comme espace vectoriel euclidien admet un inverse et un seul au sens algébrique, dans l’algèbre de Clifford associée à ${ℝ}^d$ et cet inverse coincide avec $\frac{x}{{\Vert x\Vert }_2^2}$ .

Dans cet article, à partir d’un exemple concret issu des concepts d’accélération de convergence de suites vectorielles, et après avoir souligné les difficultés rencontrées quand les approches sont basées seulement sur des calculs dans ${ℝ}^d$ , il est montré comment le recours à l’algèbre de Clifford associée permet de surmonter toutes ces difficultés et d’établir de nouveaux résultats et une meilleure compréhension.