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RÉSUMÉ
La dérivation et l'intégration des fonctions ont longtemps été cantonnées aux nombres entier. Pourtant, l'étude de certains phénomènes en mécanique des fluides fait apparaitre l'intégration d'ordre un demi dans les équations de chaleur. Dès lors, les développements ont été nombreux aussi bien en rhéologie, en diffusion, en hydrodynamique, en thermodynamique et récemment en électrochimie. Aujourd'hui, la dérivée d'ordre fractionnaire est également utilisée dans la modélisation mécanique des gommes et des caoutchoucs, en bref toutes sortes de matériaux qui conservent la mémoire des déformations passées et dont le comportement est dit viscoélastique.
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François DUBOIS : Professeur des universités, Conservatoire national des arts et métiers, Mathématiques, Paris, France
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Ana Cristina GALUCIO : Dr, ingénieur de recherche, EADS Innovation Works, Suresnes, France
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Nelly POINT : Maître de conférences à l'université Paris-Est, UMR Navier, École des ponts, Paris Tech, Marne-la-Vallé
INTRODUCTION
Quand on introduit la notion de dérivée, on se rend vite compte qu’on peut appliquer le concept de dérivée à la fonction dérivée elle-même, et par là-même introduire la dérivée seconde, puis les dérivées successives d’ordre entier. L’intégration, opération inverse de la dérivée, peut éventuellement être considérée comme une dérivée d’ordre « moins un ». On peut aussi se demander si ces dérivées d’ordres successifs ont un équivalent d’ordre fractionnaire. Selon une thèse d’histoire des mathématiques récente, la dérivation numérique d’ordre fractionnaire remonte à diverses correspondances entre Gottfried Leibniz, Guillaume de L’Hôspital et Johann Bernoulli à la fin du XVII e siècle. Mais ces grands pionniers se heurtèrent à un paradoxe.
On pourrait penser que cette recherche de dérivation fractionnaire est une question de mathématiques « pures » sans intérêt pour l’ingénieur. Pourtant un exemple simple de mécanique des fluides montre comment la dérivée d’ordre un demi apparaît tout naturellement quand on veut expliciter un flux de chaleur sortant latéralement d’un écoulement fluide en fonction de l’évolution temporelle de la source interne. La dérivée d’ordre un demi étant introduite, on doit être vigilant quant à sa définition précise dans les situations les plus générales. Il en est de même pour la définition de la dérivée d’ordre fractionnaire α, où α est typiquement un nombre réel entre zéro et un. Pendant longtemps plusieurs définitions, suite aux travaux de Joseph Liouville et Bernhard Riemann au milieu du XIX e siècle, ont coexisté sans qu’il y ait une parfaite compatibilité entre elles. Nous montrons dans cet article qu’avec la théorie des distributions, toutes les ambiguïtés ont pu être levées.
Un intérêt particulier pour la dérivation fractionnaire est lié à la modélisation mécanique des gommes et des caoutchoucs, en bref toutes sortes de matérieux qui conservent la mémoire des déformations passées et dont le comportement est dit viscoélastique. En effet, la dérivation fractionnaire s’y introduit naturellement. Nous proposons au dernier paragraphe une courte introduction à ce sujet difficile.
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Calcul d'une transformée de Fourier par la méthode des résidus
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7. Approximation numérique de la dérivée d’ordre fractionnaire
Les grandes lignes de deux méthodes d’approximation aux différences finies sont présentées ici. La première technique d’approximation est liée à la définition de Grünwald-Letnikov. Elle consiste à approcher la dérivée fractionnaire par un schéma aux différences finies décentré amont, précis au premier ordre. La deuxième méthode consiste à utiliser un schéma décentré vers le passé, précis au deuxième ordre. C’est le schéma G α développé par Galucio et al. .
7.1 Schéma de Grünwald-Letnikov
Soit u une fonction du temps connue par des valeurs discrètes un aux instants tn , où n est un entier positif. La fonction un peut être approchée par u(tn ) avec tn = nΔt, où Δt, supposé constant, est l’incrément de temps. La dérivée d’ordre α d’une fonction u calculée à l’instant tn par le schéma (approché) de Grünwald-Letnikov est donnée par :
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BAGLEY (R.L.), TORVIK (P.J.) - Fractional calculus – a different approach to the analysis of viscoelastically damped structures - AIAA Journal, 21 : 741-748 (1983).
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(2) - BAGLEY (R.L.), TORVIK (P.J.) - On the fractional calculus model of viscoelastic behavior - Journal of Rheology, 30 : 133-155 (1986).
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(3) - CAPUTO (M.) - Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent, Part 2 - Geophys. J. R. Astr. Soc., 13 : 529-539 (1967).
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(4) - CHRISTENSEN (R.M.) - Theory of viscoelasticity - Dover Publications (1982).
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(5) - COURANT (R.), HILBERT (D.) - Methods of Mathematical Physics - John Wiley & Sons Inc, New York (1989).
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(6) - DIEUDONNE (J.) - Calcul infinitésimal - Hermann, Paris (1968).
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