Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
La dérivation et l'intégration des fonctions ont longtemps été cantonnées aux nombres entier. Pourtant, l'étude de certains phénomènes en mécanique des fluides fait apparaitre l'intégration d'ordre un demi dans les équations de chaleur. Dès lors, les développements ont été nombreux aussi bien en rhéologie, en diffusion, en hydrodynamique, en thermodynamique et récemment en électrochimie. Aujourd'hui, la dérivée d'ordre fractionnaire est également utilisée dans la modélisation mécanique des gommes et des caoutchoucs, en bref toutes sortes de matériaux qui conservent la mémoire des déformations passées et dont le comportement est dit viscoélastique.
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The derivation and integration of functions used to be limited to whole numbers. However, the study of certain phenomena in fluid mechanics has shown the presence of the half-order integration in heat equations. From then on, there has been a significant number of developments in rheology, diffusion, hydrodynamics, thermodynamics and recently in the electricity sector. The fractional derivative is also currently used in the mechanical modelling of gums and rubbers as well as, briefly speaking, all sorts of materials which keep the memory of past deformations and the behaviour of which is called viscoelastic.
Auteur(s)
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François DUBOIS : Professeur des universités, Conservatoire national des arts et métiers, Mathématiques, Paris, France
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Ana Cristina GALUCIO : Dr, ingénieur de recherche, EADS Innovation Works, Suresnes, France
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Nelly POINT : Maître de conférences à l'université Paris-Est, UMR Navier, École des ponts, Paris Tech, Marne-la-Vallé
INTRODUCTION
Quand on introduit la notion de dérivée, on se rend vite compte qu’on peut appliquer le concept de dérivée à la fonction dérivée elle-même, et par là-même introduire la dérivée seconde, puis les dérivées successives d’ordre entier. L’intégration, opération inverse de la dérivée, peut éventuellement être considérée comme une dérivée d’ordre « moins un ». On peut aussi se demander si ces dérivées d’ordres successifs ont un équivalent d’ordre fractionnaire. Selon une thèse d’histoire des mathématiques récente, la dérivation numérique d’ordre fractionnaire remonte à diverses correspondances entre Gottfried Leibniz, Guillaume de L’Hôspital et Johann Bernoulli à la fin du XVII e siècle. Mais ces grands pionniers se heurtèrent à un paradoxe.
On pourrait penser que cette recherche de dérivation fractionnaire est une question de mathématiques « pures » sans intérêt pour l’ingénieur. Pourtant un exemple simple de mécanique des fluides montre comment la dérivée d’ordre un demi apparaît tout naturellement quand on veut expliciter un flux de chaleur sortant latéralement d’un écoulement fluide en fonction de l’évolution temporelle de la source interne. La dérivée d’ordre un demi étant introduite, on doit être vigilant quant à sa définition précise dans les situations les plus générales. Il en est de même pour la définition de la dérivée d’ordre fractionnaire α, où α est typiquement un nombre réel entre zéro et un. Pendant longtemps plusieurs définitions, suite aux travaux de Joseph Liouville et Bernhard Riemann au milieu du XIX e siècle, ont coexisté sans qu’il y ait une parfaite compatibilité entre elles. Nous montrons dans cet article qu’avec la théorie des distributions, toutes les ambiguïtés ont pu être levées.
Un intérêt particulier pour la dérivation fractionnaire est lié à la modélisation mécanique des gommes et des caoutchoucs, en bref toutes sortes de matérieux qui conservent la mémoire des déformations passées et dont le comportement est dit viscoélastique. En effet, la dérivation fractionnaire s’y introduit naturellement. Nous proposons au dernier paragraphe une courte introduction à ce sujet difficile.
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Phénoménologie des modèles et identification
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5. Application à la viscoélasticité linéaire
5.1 Introduction à la viscoélasticité linéaire
Pour un système mécanique comme une masse liée à un ressort, la force appliquée (la contrainte dans le cadre d’une description via un milieu continu) est proportionnelle au déplacement. De plus, la dissipation visqueuse classique est proportionnelle à la dérivée temporelle du déplacement.
L’hypothèse de base faite pour les matériaux viscoélastiques linéaires est que la contrainte à l’instant actuel est une fonction linéaire de toute l’histoire des déformations. Deux essais statiques sont les plus souvent employés pour définir, pour des temps longs, les coefficients des lois de comportement : l’essai de fluage et l’essai de relaxation. L’essai de fluage consiste à imposer de façon instantanée une contrainte constante à une éprouvette et à suivre ses déformations en fonction du temps. Dans l’essai de relaxation, on impose une déformation instantanée, on la maintient constante et l’on mesure les variations de la contrainte en fonction du temps.
Basée sur le principe de superposition de Boltzmann, la loi de comportement d’un matériau viscoélastique linéaire quelconque peut s’écrire sous forme intégrale comme suit :
où σ représente la contrainte, ε la déformation,
la fonction de relaxation et où s est la variable d’intégration temporelle. Si le matériau est initialement au repos (ε(t) = 0 pour t < 0), l’équation précédente s’écrit :
Dans sa forme classique, la loi de comportement sous forme d’équation différentielle contient des dérivées temporelles d’ordre entier
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Application à la viscoélasticité linéaire
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BAGLEY (R.L.), TORVIK (P.J.) - Fractional calculus – a different approach to the analysis of viscoelastically damped structures - AIAA Journal, 21 : 741-748 (1983).
-
(2) - BAGLEY (R.L.), TORVIK (P.J.) - On the fractional calculus model of viscoelastic behavior - Journal of Rheology, 30 : 133-155 (1986).
-
(3) - CAPUTO (M.) - Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent, Part 2 - Geophys. J. R. Astr. Soc., 13 : 529-539 (1967).
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(4) - CHRISTENSEN (R.M.) - Theory of viscoelasticity - Dover Publications (1982).
-
(5) - COURANT (R.), HILBERT (D.) - Methods of Mathematical Physics - John Wiley & Sons Inc, New York (1989).
-
(6) - DIEUDONNE (J.) - Calcul infinitésimal - Hermann, Paris (1968).
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