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Auteur(s)
-
Pierre BÉZIER : Ingénieur de l’École Nationale Supérieure des Arts et Métiers - Ingénieur de l’École Supérieure d’Électricité - Docteur en mathématiques
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Lire l’articleINTRODUCTION
Jusqu’à une date récente, les dessins de pièces de mécanique ne donnaient pas une description complète de l’objet qu’ils étaient censés représenter. Les surfaces requérant quelque précision étaient définies par des dimensions assorties de tolérances ; leur géométrie était fondée sur l’emploi de la droite et du cercle ; les dépouilles et les raccordements étaient déterminés de façon plus ou moins vague, et parfois implicite, et leur réalisation était laissée à l’initiative de professionnels hautement qualifiés : modeleurs, fondeurs ou ajusteurs de matrices. Quant aux autres formes gauches, elles étaient représentées par des tracés de diverses sections, et reproduites ensuite par copie de modèles dérivant des tracés par une interpolation laissée aux soins d’opérateurs très expérimentés.
Afin d’utiliser la commande numérique pour diriger des aléseuses, des tours, des fraiseuses, des rectifieuses, des machines d’électroérosion ou de soudure, il devenait indispensable de disposer d’une définition complète et précise de toutes les surfaces à réaliser. Cette question a donné lieu à beaucoup de travaux. On trouvera en références bibliographiques la liste des principaux ouvrages publiés en français ou en anglais ; la liste des articles parus dans les revues spécialisées compterait plusieurs milliers de références.
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Problèmes
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5. Référentiels déformables
5.1 Généralités
Dans les paragraphes précédents, on a considéré des courbes et des surfaces inscrites dans un espace cartésien ; ce point de vue est logique puisque toute réalisation pratique s’effectue à l’aide de machines ou d’écrans utilisant des référentiels cartésiens ou, éventuellement, cylindriques ou sphériques.
Or, il se trouve parfois qu’il est avantageux de pousser plus loin cette conception et de travailler d’abord dans un référentiel paramétrique pour revenir finalement dans un référentiel cartésien, qui est nécessaire pour l’exécution de tracés et d’usinages.
On se limitera ici à trois cas pratiques :
-
tracé d’une courbe sur un carreau paramétrique ;
-
tracé d’un carreau sur un carreau paramétrique ;
-
déformation généralisée d’une collection de carreaux paramétriques.
5.2 Applications
5.2.1 Tracé d’une courbe sur un carreau paramétrique
Pour définir une courbe C tracée sur un carreau dont on connaît le réseau caractéristique (figure 30), on lui fait correspondre un référentiel cartésien.
Le carreau paramétrique porte un référentiel constitué par les génératrices iso-u et iso-v, qui sert à déterminer les coordonnées (u, v ) de quelques points de la courbe que l’on veut définir.
Sur le référentiel cartésien on porte des points π (x, y ) dont les coordonnées sont respectivement égales à celles des points P (u, v ) de la courbe C.
La courbe Γ est caractérisée par son polygone et représentée par l’expression :
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BARSKY (B.), BARTELS (R.H.), BEATTY (J.C.) - An introduction to splines for use in computer graphics. - Éd. Morgan-Kaufmann (1987).
-
(2) - BARSKY (B.), BARTELS (R.H.), BEATTY (J.C.) - * - Traduction de BARSKY (B.), BARTELS (R.H.), BEATTY (J.C.) - An introduction to splines for use in computer graphics.Éd. Morgan-Kaufmann (1987)., B-splines et Beta-splines. Collection Mathématiques et CAO, tomes 6 et 7, Éd. Hermès (1988).
-
(3) - BÉZIER (P.) - Essai de définition des courbes et surfaces expérimentales. - Thèse de doctorat d’État, Université Paris VI (1977).
-
(4) - BÉZIER (P.) - Mathematical basis of UNISURF CAD system. - Éd. Butterworth (1986).
-
(5) - BÉZIER (P.) - Courbes et surfaces. - Collection Mathématiques et CAO, tome 4, Éd. Hermès (1987).
-
(6) - de CASTELJAU...
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