Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article présente une méthodologie permettant de maîtriser le design de courbes et de surfaces à parti de la notion de point de contrôle introduite par les pères fondateurs de la géométrie de la CAO, Pierre Bézier et Paul Faget de Casteljau. Nous passons en revue les courbes et les surfaces polynomiales ainsi que les splines polynomiales. Une introduction aux concepts clés de ‡oraison et de subdivision donne un nouvel éclairage à ce sujet très riche et encore très actif.
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This paper presents a methodology for mastering the design of curves and surfaces from the check-point notion introduced by the founding fathers of the CAGD geometry, Pierre Bézier et Paul Faget de Casteljau. We review polynomial curves and surfaces, and polynomial splines. An introduction to the key concepts of blossoming sheds new light on this very rich and still very active domain.
Auteur(s)
-
Olivier GIBARU : Professeur des Universités en mathématiques appliquées - École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers - Campus de Lille, France
INTRODUCTION
La géométrie de la CAO est une branche de la conception assistée par ordinateur (CAO) qui désigne initialement les outils logiciels permettant à un ordinateur de remplacer la planche à dessin. Les logiciels incorporent généralement des règles métiers, capturent efficacement l'intention de l'utilisateur et permettent de réaliser des opérations complexes. Un logiciel de CAO se compose en général d'un modeleur géométrique, d'un outil de visualisation et d'outils de calcul. Le vocabulaire du modeleur géométrique est celui de la géométrie : points, droites, plans, courbes de Bézier, courbes splines, surfaces de Bézier, surfaces splines, surfaces NURBS… et aussi celui de la topologie : sommets, arêtes, faces, intérieur/extérieur, union, intersection… Nous nous intéressons ici à la partie modélisation de formes géométriques 2D ou 3D dites complexes qui sont utilisées dans des domaines très variés : conception mécanique, design numérique, design de mode, animation et jeux vidéos… L'idée de cette modélisation repose sur la création d'outils mathématiques motivés par une utilisation intuitive et facile de ces modèles par des stylistes, concepteurs, graphistes… Ainsi, la modélisation 2D et 3D fait intervenir un ensemble de courbes et de surfaces permettant de représenter les frontières des objets modélisés. Le modèle de représentation qui s'est imposé naturellement est le modèle polynomial.
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KEYWORDS
spline curves | spline surfaces | Béziers curves | de Casteljau algorithm | blossoming
DOI (Digital Object Identifier)
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Présentation
Courbes rationnelles, interpolation de points et lissage par courbe spline polynomiale
En anglais
1. Les courbes – design géométrique
La conception mécanique assistée par ordinateur pour l'automobile a très certainement été la première grande application de la modélisation géométrique par polynômes. Elle a été promue par deux ingénieurs français à la fin des années 1950, Pierre Bézier chez Renault et Paul Faget de Casteljau chez Citroën. Adepte de la rigueur sans concession et de l'ultima ratio, Pierre Bézier réussit dans les années 1960 à obtenir un budget de 3 millions de francs pour concevoir et réaliser avec son équipe son système UNISURF. Ce système était composé d'une machine à dessiner de 7 mètres de long pour réaliser « le grand plan » d'une voiture, d'une fraiseuse à 3 axes pour réaliser les maquettes et un calculateur de 8 Ko de mémoire vive de type CAE 530 développé par la Compagnie européenne d'Automatisme électronique. Ce système très original pour l'époque permettait à partir d'un logiciel de générer des trajectoires « gauches » et ainsi de façonner des maquettes de carrosseries par des courbes polynomiales de degré 3. À partir de points, dits de contrôle, il développa une stratégie de maîtrise de la forme de courbes polynomiales paramétriques accessible aux non-mathématiciens. Ce système numérique, ancêtre de CATIA et breveté en 1966, permit de mettre en œuvre pour la première fois le concept clé de chaîne numérique. Son idée était qu'il fallait concevoir, dès le bureau d'études, les formes des voitures (figure 1) et de leurs composants directement à l'aide d'expressions mathématiques. Le styliste pouvait ainsi mettre en place une définition numérique indiscutable, sans approximation et facile à communiquer aux sous-traitants, fournisseurs, contrôleur opérant à la sortie de la chaîne de fabrication, et même aux ateliers d'entretien du réseau des agents et des concessionnaires (voir l'article initial de Pierre Bézier ...
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Les courbes – design géométrique
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ATTEIA (M.), GACHES (J.) - Approximation Hilbertienne, Splines-Ondelettes-Fractales. - Presses Universitaires de Grenoble (1999).
-
(2) - BERNSTEIN (S.N.) - Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités. - Commun. Soc. Math. Kharkov, 13, 1-2 (1912-1913).
-
(3) - * - Lettre de Pierre BÉZIER adressée à Christophe Rabut en novembre 1999.
-
(4) - Actes du colloque BÉZIER (P.) - * - . – ENSAM de Paris (30 novembre 2000).
-
(5) - CATMULL (E.), CLARK (J.) - Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. - Computer-Aided Design, 10, 350-355 (1978).
-
(6) - CARNICER (J.M.), PEÑA (J.M.) - Totally positive bases for preserving curve design and optimality...
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