Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article présente une méthodologie permettant de maîtriser le design de courbes et de surfaces à parti de la notion de point de contrôle introduite par les pères fondateurs de la géométrie de la CAO, Pierre Bézier et Paul Faget de Casteljau. Nous passons en revue les courbes et les surfaces polynomiales ainsi que les splines polynomiales. Une introduction aux concepts clés de ‡oraison et de subdivision donne un nouvel éclairage à ce sujet très riche et encore très actif.
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This paper presents a methodology for mastering the design of curves and surfaces from the check-point notion introduced by the founding fathers of the CAGD geometry, Pierre Bézier et Paul Faget de Casteljau. We review polynomial curves and surfaces, and polynomial splines. An introduction to the key concepts of blossoming sheds new light on this very rich and still very active domain.
Auteur(s)
-
Olivier GIBARU : Professeur des Universités en mathématiques appliquées - École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers - Campus de Lille, France
INTRODUCTION
La géométrie de la CAO est une branche de la conception assistée par ordinateur (CAO) qui désigne initialement les outils logiciels permettant à un ordinateur de remplacer la planche à dessin. Les logiciels incorporent généralement des règles métiers, capturent efficacement l'intention de l'utilisateur et permettent de réaliser des opérations complexes. Un logiciel de CAO se compose en général d'un modeleur géométrique, d'un outil de visualisation et d'outils de calcul. Le vocabulaire du modeleur géométrique est celui de la géométrie : points, droites, plans, courbes de Bézier, courbes splines, surfaces de Bézier, surfaces splines, surfaces NURBS… et aussi celui de la topologie : sommets, arêtes, faces, intérieur/extérieur, union, intersection… Nous nous intéressons ici à la partie modélisation de formes géométriques 2D ou 3D dites complexes qui sont utilisées dans des domaines très variés : conception mécanique, design numérique, design de mode, animation et jeux vidéos… L'idée de cette modélisation repose sur la création d'outils mathématiques motivés par une utilisation intuitive et facile de ces modèles par des stylistes, concepteurs, graphistes… Ainsi, la modélisation 2D et 3D fait intervenir un ensemble de courbes et de surfaces permettant de représenter les frontières des objets modélisés. Le modèle de représentation qui s'est imposé naturellement est le modèle polynomial.
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KEYWORDS
spline curves | spline surfaces | Béziers curves | de Casteljau algorithm | blossoming
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Schémas de subdivision
En anglais
3. Les surfaces
3.1 Carreaux de Bézier
L'extension des courbes de Bézier au cas des surfaces est appelée carreaux de Bézier. Un carreau de Bézier d'ordre n x m est défini à partir d'une grille ou un polyèdre de points de contrôle
de l'espace affine. Ainsi un carreau de Bézier est défini par :
Dans l'exemple de la figure 56 nous représentons une grille de 4 x 4 points de contrôle qui définit un carreau de Bézier d'ordre 3 x 3.
HAUT DE PAGE3.1.1 Évaluation par l'algorithme de de Casteljau
Le calcul du point
s'obtient par l'application successive de l'algorithme de de Casteljau selon u puis selon la variable v (figure 57). En effet, à partir des points de contrôle (P 0j, P 1j, P 2j, P 3j) pour j = 0, 1, 2 et 3, il vient l'expression :
En appliquant de nouveau l'algorithme de Casteljau (figure 58) selon v à partir des points de contrôle
obtenus à l'étape précédente, nous pouvons alors calculer le point sur la surface P associée aux abscisses (u, v).
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ATTEIA (M.), GACHES (J.) - Approximation Hilbertienne, Splines-Ondelettes-Fractales. - Presses Universitaires de Grenoble (1999).
-
(2) - BERNSTEIN (S.N.) - Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités. - Commun. Soc. Math. Kharkov, 13, 1-2 (1912-1913).
-
(3) - * - Lettre de Pierre BÉZIER adressée à Christophe Rabut en novembre 1999.
-
(4) - Actes du colloque BÉZIER (P.) - * - . – ENSAM de Paris (30 novembre 2000).
-
(5) - CATMULL (E.), CLARK (J.) - Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. - Computer-Aided Design, 10, 350-355 (1978).
-
(6) - CARNICER (J.M.), PEÑA (J.M.) - Totally positive bases for preserving curve design and optimality...
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