Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article présente une méthodologie permettant de maîtriser le design de courbes et de surfaces à parti de la notion de point de contrôle introduite par les pères fondateurs de la géométrie de la CAO, Pierre Bézier et Paul Faget de Casteljau. Nous passons en revue les courbes et les surfaces polynomiales ainsi que les splines polynomiales. Une introduction aux concepts clés de ‡oraison et de subdivision donne un nouvel éclairage à ce sujet très riche et encore très actif.
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This paper presents a methodology for mastering the design of curves and surfaces from the check-point notion introduced by the founding fathers of the CAGD geometry, Pierre Bézier et Paul Faget de Casteljau. We review polynomial curves and surfaces, and polynomial splines. An introduction to the key concepts of blossoming sheds new light on this very rich and still very active domain.
Auteur(s)
-
Olivier GIBARU : Professeur des Universités en mathématiques appliquées - École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers - Campus de Lille, France
INTRODUCTION
La géométrie de la CAO est une branche de la conception assistée par ordinateur (CAO) qui désigne initialement les outils logiciels permettant à un ordinateur de remplacer la planche à dessin. Les logiciels incorporent généralement des règles métiers, capturent efficacement l'intention de l'utilisateur et permettent de réaliser des opérations complexes. Un logiciel de CAO se compose en général d'un modeleur géométrique, d'un outil de visualisation et d'outils de calcul. Le vocabulaire du modeleur géométrique est celui de la géométrie : points, droites, plans, courbes de Bézier, courbes splines, surfaces de Bézier, surfaces splines, surfaces NURBS… et aussi celui de la topologie : sommets, arêtes, faces, intérieur/extérieur, union, intersection… Nous nous intéressons ici à la partie modélisation de formes géométriques 2D ou 3D dites complexes qui sont utilisées dans des domaines très variés : conception mécanique, design numérique, design de mode, animation et jeux vidéos… L'idée de cette modélisation repose sur la création d'outils mathématiques motivés par une utilisation intuitive et facile de ces modèles par des stylistes, concepteurs, graphistes… Ainsi, la modélisation 2D et 3D fait intervenir un ensemble de courbes et de surfaces permettant de représenter les frontières des objets modélisés. Le modèle de représentation qui s'est imposé naturellement est le modèle polynomial.
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KEYWORDS
spline curves | spline surfaces | Béziers curves | de Casteljau algorithm | blossoming
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Présentation
Conclusion
En anglais
4. Schémas de subdivision
Nous avons vu que les modèles paramétriques des courbes et surfaces B-splines décrivent bien les formes sous-jacentes. Ils permettent des modifications locales ou globales par la manipulation des points de contrôle. Leurs inconvénients résident dans la nécessité d'opérer des calculs numériques pour la détermination des éléments géométrique du modèle, une maîtrise difficile de la continuité géométrique entre les courbes/surfaces paramétriques qui sont adjacentes et la cohérence entre les surfaces : chaque surface est décrite indépendamment des autres. D'autres modèles existent pour représenter un objet 3D, notamment les modèles de subdivision. Ces modèles s'appuient sur les modèles polyédriques. Ils permettent de modéliser des surfaces complexes et « lisses » à partir d'étapes de subdivision. Une surface de subdivision est une surface limite définie par une infinité d'opérations de raffinement, appliquées sur un maillage de contrôle grossier aussi appelé polyèdre de contrôle. Un schéma de subdivision définit un procédé itératif pour construire de manière récursive une surface de subdivision à partir d'un polygone ou d'un maillage initial. Ce procédé agit sur le maillage en insérant de nouveaux points et en supprimant des points existants dans le maillage de contrôle de la surface cible. Chaque schéma s'applique sur un type particulier de maillage de contrôle et converge vers une surface limite ayant des propriétés particulières. À la fin des itérations, une surface de subdivision plus « fine » est obtenue. Cette surface, très compacte en tenue de données, est intrinsèquement multirésolution. Elle permet de représenter des topologies arbitraires (figure 73). Les surfaces de subdivision ont été introduites pour la première fois en 1978 par Catmull et Clark et par Doo et Sabin ...
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Schémas de subdivision
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ATTEIA (M.), GACHES (J.) - Approximation Hilbertienne, Splines-Ondelettes-Fractales. - Presses Universitaires de Grenoble (1999).
-
(2) - BERNSTEIN (S.N.) - Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités. - Commun. Soc. Math. Kharkov, 13, 1-2 (1912-1913).
-
(3) - * - Lettre de Pierre BÉZIER adressée à Christophe Rabut en novembre 1999.
-
(4) - Actes du colloque BÉZIER (P.) - * - . – ENSAM de Paris (30 novembre 2000).
-
(5) - CATMULL (E.), CLARK (J.) - Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. - Computer-Aided Design, 10, 350-355 (1978).
-
(6) - CARNICER (J.M.), PEÑA (J.M.) - Totally positive bases for preserving curve design and optimality...
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