Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Qu'il soit dissipatif ou hamiltonien, un système chaotique est imprévisible, mais il est parfaitement décrit par des équations simples et déterministes. Le système est dit déterministe s'il est possible de prédire son évolution au cours du temps. L'étude de tels systèmes et de leurs comportements apparemment désordonnés est aujourd'hui utilisée dans de très nombreux domaines. On citera par exemple la géophysique, la météorologie, l'astronomie, la mécanique des fluides, l'économie, la biologie ou encore la sociologie.
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Be it dissipative or Hamiltonian, a chaotic system cannot be predicted. However it can be perfectly described by simple and deterministic equations. The system is said to be deterministic where its evolution in the course of time can be predicted. The study of such systems and their apparently disorderly behaviours is currently utilized in a significant number of domains such as geophysics, meteorology, astronomy, fluid mechanics, economy, biology or even sociology.
Auteur(s)
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Claudine DANG VU-DELCARTE : Professeur à l’université Paris-Sud
INTRODUCTION
L’origine des études sur le chaos remonte au début du siècle dernier avec les travaux d’Henri Poincaré sur le problème à N-corps. Le paragraphe 5.3 traite du problème restreint des 3-corps en intéraction gravitationnelle, exemple simple du chaos en mécanique céleste. Ces systèmes sont des systèmes hamiltoniens, nous consacrons une section au chaos hamiltonien (section 5) qui est observé et étudié afin, souvent, de le contrôler, dans de nombreux domaines comme les accélérateurs de particules (collimation de faisceaux) ou encore la physique des plasmas (confinement magnétique d’un plasma de fusion).
L’autre grande classe de systèmes dynamiques est constituée par les systèmes dissipatifs. Ils ont été très étudiés à partir des années 1960, suite aux travaux de E. Lorenz, M. Hénon, D. Ruelle, R. Thom ou encore M. Feigenbaum. Ainsi ont été introduites les notions d’attacteurs étranges et de catastrophes. Les domaines d’applications de ces concepts sont très nombreux. On citera, par exemple, la mécanique des fluides (instabilités et turbulence), l’électronique, l’astrophysique, les réactions chimiques, l’écologie, la biologie... Nous consacrons deux sections à ces systèmes selon qu’ils sont continus en temps (section 2) ou que ce sont des applications itérées (section 3). Le lecteur intéressé par le cheminement scientifique dans ce domaine, depuis Kepler jusqu’à aujourd’hui, pourra se référer au livre le Chaos dans la Nature de C. Letellier.
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Chaos dans les applications itérées
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2. Chaos dans les systèmes dissipatifs
Un système dissipatif est caractérisé par une contraction continue en temps du volume de l’espace des phases. Le mouvement est généralement régi par un système d’équations différentielles ordinaires :
( 4 )
est l’espace des paramètres. Lorsque f ne dépend pas explicitement de t, le système est dit autonome.
2.1 Attracteurs simples et attracteurs étranges
Définition 9 Soit A un ensemble compact, fermé et invariant de l’espace des phases. On dit que A est stable si pour tout voisinage U de A, il existe un voisinage V de A tel que toute solution x (x0, t) ≡ Φt (x0) restera dans U si x0 ∈ V. Si de plus :
( 5 )
et s’il existe une orbite dense dans A, alors A est un attracteur.
Définition 10 Lorsque A est un attracteur, l’ensemble
( 6 )
est appelé le bassin d’attraction de A. C’est l’ensemble des points dont les trajectoires convergent vers A.
L’attracteur le plus simple est le point fixe. Un deuxième type d’attracteur est le cycle limite ω : c’est une trajectoire fermée qui attire toutes les orbites proches.
L’attracteur étrange a été introduit par Ruelle et Takens ...
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Chaos dans les systèmes dissipatifs
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ARNOLD (V.), AVEZ (A.) - Problèmes ergodiques de la mécanique classique - Gauthier-Villars (1967).
-
(2) - BERGE (P.), POMEAU (Y.), VIDAL (C.) - L’ordre dans le chaos - Hermann (1988).
-
(3) - BROCKER (T.) - Differentiable Germs and Catastrophes - London Math. Soc. Lect. Notes Series, 27, Cambridge University Press (1975).
-
(4) - DANG-VU (H.), DELCARTE (C.) - Bifurcations et Chaos - Ellipses (2000).
-
(5) - FEIGENBAUM (M.) - * - . – J. Stat. Phys. 19, 25-52 (1978).
-
(6) - FRØYLAND (J.) - Introduction to chaos and coherence - Institute of Physics Publishing, Bristol (1994).
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