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RÉSUMÉ
Qu'il soit dissipatif ou hamiltonien, un système chaotique est imprévisible, mais il est parfaitement décrit par des équations simples et déterministes. Le système est dit déterministe s'il est possible de prédire son évolution au cours du temps. L'étude de tels systèmes et de leurs comportements apparemment désordonnés est aujourd'hui utilisée dans de très nombreux domaines. On citera par exemple la géophysique, la météorologie, l'astronomie, la mécanique des fluides, l'économie, la biologie ou encore la sociologie.
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Claudine DANG VU-DELCARTE : Professeur à l’université Paris-Sud
INTRODUCTION
L’origine des études sur le chaos remonte au début du siècle dernier avec les travaux d’Henri Poincaré sur le problème à N-corps. Le paragraphe 5.3 traite du problème restreint des 3-corps en intéraction gravitationnelle, exemple simple du chaos en mécanique céleste. Ces systèmes sont des systèmes hamiltoniens, nous consacrons une section au chaos hamiltonien (section 5) qui est observé et étudié afin, souvent, de le contrôler, dans de nombreux domaines comme les accélérateurs de particules (collimation de faisceaux) ou encore la physique des plasmas (confinement magnétique d’un plasma de fusion).
L’autre grande classe de systèmes dynamiques est constituée par les systèmes dissipatifs. Ils ont été très étudiés à partir des années 1960, suite aux travaux de E. Lorenz, M. Hénon, D. Ruelle, R. Thom ou encore M. Feigenbaum. Ainsi ont été introduites les notions d’attacteurs étranges et de catastrophes. Les domaines d’applications de ces concepts sont très nombreux. On citera, par exemple, la mécanique des fluides (instabilités et turbulence), l’électronique, l’astrophysique, les réactions chimiques, l’écologie, la biologie… Nous consacrons deux sections à ces systèmes selon qu’ils sont continus en temps (section 2) ou que ce sont des applications itérées (section 3). Le lecteur intéressé par le cheminement scientifique dans ce domaine, depuis Kepler jusqu’à aujourd’hui, pourra se référer au livre le Chaos dans la Nature de C. Letellier.
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Chaos hamiltonien
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4. Outils d’analyse et de mesure
4.1 Exposants de Lyapunov
Au-delà du seuil d’apparition des mouvements apériodiques d’une application itérée ou dans un attracteur étrange d’un système continu, deux trajectoires initialement voisines divergent. L’exposant de Lyapunov caractérise de façon quantitative le comportement chaotique en mesurant le taux de divergence moyen des trajectoires.
Dans le cas d’une application itérée unidimensionnelle, il s’écrit :
On montre que la série converge et que le résultat est indépendant de la condition initiale prise dans le bassin d’attraction de l’attracteur ; il est invariant par changement de variable.
On généralise aux itérations de dimension n. Considérons une application itérée à n dimensions
:
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - ARNOLD (V.), AVEZ (A.) - Problèmes ergodiques de la mécanique classique - Gauthier-Villars (1967).
-
(2) - BERGE (P.), POMEAU (Y.), VIDAL (C.) - L’ordre dans le chaos - Hermann (1988).
-
(3) - BROCKER (T.) - Differentiable Germs and Catastrophes - London Math. Soc. Lect. Notes Series, 27, Cambridge University Press (1975).
-
(4) - DANG-VU (H.), DELCARTE (C.) - Bifurcations et Chaos - Ellipses (2000).
-
(5) - FEIGENBAUM (M.) - * - . – J. Stat. Phys. 19, 25-52 (1978).
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(6) - FRØYLAND (J.) - Introduction to chaos and coherence - Institute of Physics Publishing, Bristol (1994).
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