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RÉSUMÉ
Les méthodes de décomposition de domaines, usitées aujourd’hui dans tous les secteurs d’ingénierie, se heurtent pour la plupart, et de par leur décomposition en un grand nombre de sous-domaines, à des problèmes de processus de résolution insuffisamment parallélisés. De plus, en augmentant le nombre d’itérations, la vitesse de calcul diminue et la convergence se dégrade. Pour résoudre ces difficultés et obtenir des méthodes scalables, l’ajout de composantes comme la grille grossière ou le recours à des résolutions en espace et en temps, avec notamment l’algorithme pararéel, permettent d’aboutir à des solutions satisfaisantes dans des contextes mêmes très complexes.
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Most domain decomposition methods which are currently used in all engineering sectors encounter, due to their decomposition in a large number of sub-domains, problems of insufficiently parallelized resolution problems. Furthermore, raising the iteration number lowers the calculation speed and convergence diminishes. In order to solve these problems and to obtain scalable methods, adding components such as the coarse grid or recoursing to time and space resolutions, notably with the parareal algorithm, can be used to obtain satisfactory solutions even within extremely complex contexts.
Auteur(s)
-
Martin J. GANDER : Professeur de mathématiques - Section de Mathématiques, Université de Genève
-
Laurence HALPERN : Professeur de Mathématiques - Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications, Université Paris 13
INTRODUCTION
Il s'agit ici de la seconde partie de l'article Méthodes de décomposition de domaines. Notions de base.
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KEYWORDS
Domain Decomposition | Schwarz Methods | Waveform Relaxation | Parareal Algorithm
DOI (Digital Object Identifier)
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Méthodes de parallélisation pour des problèmes en espace-temps
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1. Préconditionneur grille grossière
Pour exposer les différentes méthodes dans un cadre simple, nous avons considéré dans les sections précédentes des décompositions en deux sous-domaines. En réalité les ordinateurs parallèles ont des milliers, voire même des centaines de milliers de processeurs, et il faut décomposer les domaines en autant de sous-domaines pour bien paralléliser le processus de résolution. Mais toutes les méthodes itératives que nous avons vues perdent de leur efficacité lorsque le nombre de sous-domaines augmente. On dit que ces méthodes ne sont pas scalables. Il faut ajouter à toutes ces méthodes une nouvelle composante pour obtenir des méthodes scalables, et ceci est le sujet de cette section.
1.1 Problèmes de scalabilité
Il y a deux types de scalabilité pour un algorithme : la scalabilité forte et la scalabilité faible.
Scalabilité forte : pour un problème de taille fixée, le temps d’exécution est inversement proportionnel au nombre de processeurs.
Scalabilité faible : le temps d’exécution ne varie pas lorsque l’on augmente la taille du problème et le nombre de processeurs dans la même proportion.
Dans le cadre des méthodes de décomposition de domaines, la scalabilité est mesurée par rapport au nombre de sous-domaines. Le domaine Ω = [0, 1] est décomposé en I sous-domaines Ωi = [αi , βi ] de taille Hi , avec recouvrement δi = βi − αi+1 > 0, voir figure 1. Nous supposerons que seuls deux sous-domaines successifs se touchent, c’est-à-dire que pour tout i, β i−1 < α i+1.
Étudions numériquement sur le problème modèle monodimensionnel avec η = 0 la scalabilité de la méthode de Schwarz parallèle. Pour l’équation ∂xxu = 0 avec des conditions de Dirichlet sur les bords u(0) = gg et u(1) = gd , l’algorithme de Schwarz parallèle calcule ainsi à chaque étape n = 1, 2,… une fonction
...
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Préconditionneur grille grossière
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ARNOLD (V.) - Équations différentielles ordinaires - Éditions MIR, Moscou (1974).
-
(2) - BJORHUS (M.) - Semi-discrete subdomain iteration for hyperbolic systems - Tech. Rep. 4, NTNU (1995).
-
(3) - BOURGAT (J.-F.), GLOWINSKI (R.), LE TALLEC (P.), VIDRASCU (M.) - Variational formulation and algorithm for trace operator in domain decomposition calculations - in Domain Decomposition Methods, T. Chan, R. Glowinski, J. Périaux, and O. Widlund, eds., Philadelphia, PA, SIAM, pp. 3-16 (1989).
-
(4) - CAI (X.-C.), SARKIS (M.) - A restricted additive Schwarz preconditioner for general sparse linear systems - SIAM Journal on Scientific Computing, 21, pp. 239-247 (1999).
-
(5) - CHAN (T.F.), MATHEW (T.P.) - Domain decomposition algorithms - in Acta Numerica 1994. Cambridge University Press, pp. 61-143 (1994).
-
(6) - CHARTIER (P.), PHILIPPE (B.) - A...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Premiers exposés de la conférence internationale sur les méthodes de décomposition de domaines
http://www.ddm.org/conferences.html
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