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Auteur(s)
-
Guy CHAVENT : Professeur de Mathématiques à l’Université de Paris-Dauphine - Directeur Scientifique à l’Institut National de Recherches en Informatique et en Automatique (INRIA-Rocquencourt)
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On s’intéresse dans cet article à la discrétisation des équations aux dérivées partielles, dans lesquelles l’inconnue est une fonction u (la température par exemple) dépendant de plusieurs variables d’espace x1 … xn (notées x de façon abrégée) et du temps t. On appellera Ω le domaine de l’espace et [0, T] l’intervalle de temps où l’on cherche à connaître la température. Ainsi l’évolution de la température (u (x, t )) dans une barre infinie
et homogène à partir d’une température initiale (u0 (x )) connue est-elle donnée par :
où c est la capacité thermique et a est la conductivité thermique de la barre. La méthode des différences finies a été, historiquement, la première méthode connue pour calculer, sur un ordinateur, une solution approchée de [1]. L’idée consistait à remplacer la recherche de la fonction u (x, t ) par celle d’un vecteur (
, i = …– 2, – 1,0,1,2… ; n = 0,1,2…) dont la composante
représentait une approximation de u (x, t) au point (xi , t n) d’un maillage couvrant Ω × [0,T] (nous noterons que n représente un indice et non un exposant !). Par exemple, si l’on choisit :
où h > 0 et Δt > 0 représentent les pas de discrétisation en espace et en temps, alors une approximation aux différences finies de [1] est :
Aujourd’hui, de nombreuses autres méthodes d’approximation sont apparues (éléments finis, méthodes spectrales, volumes finis…) mais les schémas aux différences finies gardent une grande importante pratique, en particulier de par leur grande facilité de mise en œuvre et leur efficacité numérique, surtout du point de vue du temps de calcul.
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Consistance, précision ou ordre, stabilité d’un schéma DF
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1. Qu’est-ce qu’un schéma aux différences finies ?
1.1 Différences finies pour les problèmes stationnaires
Nous considérons donc le cas d’un problème dans lequel la fonction inconnue u est indépendante du temps t, et ne dépend que des variables d’espace x = (x 1 … xn ) ∊ Ω où Ω est le domaine de
, n = 1, 2 ou 3 occupé par le corps dans lequel on cherche à déterminer u. Nous illustrons notre propos par un exemple provenant, au choix, de la thermique ou de l’hydraulique des milieux poreux :
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BRENIER (Y.), HENNART (J.-P.) - Introduction to numerical hyperbolic equations. - Cours IIMAS-UNAM. Mexico DF, Mexique (1983).
-
(2) - CIARLET (P.G.) - Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation. - Masson (1982).
-
(3) - CIARLET (P.G.), THOMAS (J.M.) - Exercices d’analyse numérique matricielle et d’optimisation. - Masson (1982).
-
(4) - GEORGE (P.L.) - Génération automatique de maillages – Applications aux méthodes d’éléments finis. - Masson, RMA 16 (1991).
-
(5) - JEFFREY (A.) - Quasilinear hyperbolic systems and waves. - Pitman, London (1976).
-
(6) - PIRONNEAU (O.) - Méthodes des éléments finis pour les fluides. - Masson, RMA 17 (1988).
-
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