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Auteur(s)
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Guy CHAVENT : Professeur de Mathématiques à l’Université de Paris-Dauphine - Directeur Scientifique à l’Institut National de Recherches en Informatique et en Automatique (INRIA-Rocquencourt)
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On s’intéresse dans cet article à la discrétisation des équations aux dérivées partielles, dans lesquelles l’inconnue est une fonction u (la température par exemple) dépendant de plusieurs variables d’espace x1 … xn (notées x de façon abrégée) et du temps t. On appellera Ω le domaine de l’espace et [0, T] l’intervalle de temps où l’on cherche à connaître la température. Ainsi l’évolution de la température (u (x, t )) dans une barre infinie
et homogène à partir d’une température initiale (u0 (x )) connue est-elle donnée par :
où c est la capacité thermique et a est la conductivité thermique de la barre. La méthode des différences finies a été, historiquement, la première méthode connue pour calculer, sur un ordinateur, une solution approchée de [1]. L’idée consistait à remplacer la recherche de la fonction u (x, t ) par celle d’un vecteur (
, i = …– 2, – 1,0,1,2… ; n = 0,1,2…) dont la composante
représentait une approximation de u (x, t) au point (xi , t n) d’un maillage couvrant Ω × [0,T] (nous noterons que n représente un indice et non un exposant !). Par exemple, si l’on choisit :
où h > 0 et Δt > 0 représentent les pas de discrétisation en espace et en temps, alors une approximation aux différences finies de [1] est :
Aujourd’hui, de nombreuses autres méthodes d’approximation sont apparues (éléments finis, méthodes spectrales, volumes finis…) mais les schémas aux différences finies gardent une grande importante pratique, en particulier de par leur grande facilité de mise en œuvre et leur efficacité numérique, surtout du point de vue du temps de calcul.
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Qu’est-ce qu’un schéma aux différences finies ?
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4. Construction de schéma DF pour les opérateurs du 1er ordre (transport)
Les lois de conservation forment une classe très importante des équations de la physique. Si on dénote par C le scalaire dont on veut écrire la conservation (concentration par exemple) et par
le vecteur flux associé (qui permet de calculer le débit horaire de C traversant une surface donnée), la conservation de C sur un volume V s’écrit :
où
représente la normale extérieure à V. La formule de Green permet de réécrire [61] sous la forme :
ce qui montre, lorsque le volume V est pris de plus en plus petit, que C et
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BRENIER (Y.), HENNART (J.-P.) - Introduction to numerical hyperbolic equations. - Cours IIMAS-UNAM. Mexico DF, Mexique (1983).
-
(2) - CIARLET (P.G.) - Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation. - Masson (1982).
-
(3) - CIARLET (P.G.), THOMAS (J.M.) - Exercices d’analyse numérique matricielle et d’optimisation. - Masson (1982).
-
(4) - GEORGE (P.L.) - Génération automatique de maillages – Applications aux méthodes d’éléments finis. - Masson, RMA 16 (1991).
-
(5) - JEFFREY (A.) - Quasilinear hyperbolic systems and waves. - Pitman, London (1976).
-
(6) - PIRONNEAU (O.) - Méthodes des éléments finis pour les fluides. - Masson, RMA 17 (1988).
-
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