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Auteur(s)
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Guy CHAVENT : Professeur de Mathématiques à l’Université de Paris-Dauphine - Directeur Scientifique à l’Institut National de Recherches en Informatique et en Automatique (INRIA-Rocquencourt)
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On s’intéresse dans cet article à la discrétisation des équations aux dérivées partielles, dans lesquelles l’inconnue est une fonction u (la température par exemple) dépendant de plusieurs variables d’espace x1 … xn (notées x de façon abrégée) et du temps t. On appellera Ω le domaine de l’espace et [0, T] l’intervalle de temps où l’on cherche à connaître la température. Ainsi l’évolution de la température (u (x, t )) dans une barre infinie
et homogène à partir d’une température initiale (u0 (x )) connue est-elle donnée par :
où c est la capacité thermique et a est la conductivité thermique de la barre. La méthode des différences finies a été, historiquement, la première méthode connue pour calculer, sur un ordinateur, une solution approchée de [1]. L’idée consistait à remplacer la recherche de la fonction u (x, t ) par celle d’un vecteur (
, i = …– 2, – 1,0,1,2… ; n = 0,1,2…) dont la composante
représentait une approximation de u (x, t) au point (xi , t n) d’un maillage couvrant Ω × [0,T] (nous noterons que n représente un indice et non un exposant !). Par exemple, si l’on choisit :
où h > 0 et Δt > 0 représentent les pas de discrétisation en espace et en temps, alors une approximation aux différences finies de [1] est :
Aujourd’hui, de nombreuses autres méthodes d’approximation sont apparues (éléments finis, méthodes spectrales, volumes finis…) mais les schémas aux différences finies gardent une grande importante pratique, en particulier de par leur grande facilité de mise en œuvre et leur efficacité numérique, surtout du point de vue du temps de calcul.
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Construction de schéma DF pour les opérateurs du 2e ordre (elliptiques)
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2. Consistance, précision ou ordre, stabilité d’un schéma DF
Un schéma aux différences finies doit, pour être utilisable, satisfaire nécessairement au moins deux conditions.
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Le schéma doit être consistant, c’est‐à‐dire que l’équation approchée doit ressembler à l’équation continue que l’on veut résoudre. Il est espéré que cette propriété entraîne que le schéma est convergent, c’est‐à‐dire que la solution discrète Uh converge, lorsque la discrétisation est affinée (h → 0) vers la solution exacte U. La consistance d’un schéma est, comme nous le verrons 2.1, une propriété facile à vérifier par des calculs élémentaires, alors que la preuve de la convergence d’un schéma est beaucoup plus délicate, et souvent impossible pour des systèmes trop complexes. Il faut noter en outre que la vérification de la consistance se fait en pratique en évaluant la précision ou l’ordre avec lequel l’équation discrète approche l’équation continue. Là encore, il est espéré que cet ordre sur l’équation du schéma coïncidera avec l’ordre de convergence sur la solution, c’est‐à‐dire la puissance de h avec laquelle une norme convenable de uh – u converge vers zéro. La détermination de l’ordre de convergence d’un schéma se fait par des techniques similaires à celles utilisées pour prouver la convergence du schéma, et est donc une opération difficile. Bien qu’il n’y ait pas de théorie générale, nos deux espoirs (consistance ⇒ convergence, ordre du schéma en équation = ordre de convergence du schéma) sont vérifiés dans plusieurs cas particuliers. Nous nous limitons ici à l’étude de la consistance et de l’ordre en équation, renvoyant le lecteur à l’article Méthode des éléments finis [A 656] et à la littérature (voir paragraphes ...
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Consistance, précision ou ordre, stabilité d’un schéma DF
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BRENIER (Y.), HENNART (J.-P.) - Introduction to numerical hyperbolic equations. - Cours IIMAS-UNAM. Mexico DF, Mexique (1983).
-
(2) - CIARLET (P.G.) - Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation. - Masson (1982).
-
(3) - CIARLET (P.G.), THOMAS (J.M.) - Exercices d’analyse numérique matricielle et d’optimisation. - Masson (1982).
-
(4) - GEORGE (P.L.) - Génération automatique de maillages – Applications aux méthodes d’éléments finis. - Masson, RMA 16 (1991).
-
(5) - JEFFREY (A.) - Quasilinear hyperbolic systems and waves. - Pitman, London (1976).
-
(6) - PIRONNEAU (O.) - Méthodes des éléments finis pour les fluides. - Masson, RMA 17 (1988).
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