Présentation
Auteur(s)
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Pierre SPITERI : Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’École nationale supérieure d’électronique, d’électrotechnique, - d’informatique, d’hydraulique et de télécommunication de Toulouse (ENSEEIHT)
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Lire l’articleINTRODUCTION
Depuis l’avènement des ordinateurs il y a maintenant plus d’un demi-siècle et, compte tenu en particulier de l’augmentation de leur puissance de calcul, la simulation numérique a remplacé l’expérimentation directe trop coûteuse et longue à mettre en œuvre ; celle-ci n’est plus, de nos jours, qu’un moyen de vérification des calculs effectués sur machine. Sur le plan mathématique, la simulation numérique nécessite essentiellement la résolution numérique d’équations aux dérivées partielles qui conduisent à l’obtention de solutions approchées. Il existe de nombreuses méthodes d’approximation qui présentent toutes des avantages et des inconvénients ; citons, à titre illustratif, la méthode des différences finies, la méthode des volumes finis, les méthodes spectrales, etc.
Dans les trois articles qui composent cet ensemble, nous nous intéressons à la méthode des éléments finis qui est très utilisée dans l’industrie, en particulier en aéronautique, dans l’industrie automobile, en météorologie, etc. Cette méthode est intéressante, compte tenu de sa souplesse d’utilisation, en particulier vis-à-vis de l’approximation des divers opérateurs modélisant des phénomènes en physique-mathématique et également pour la prise en compte de conditions aux limites portant sur les gradients de la fonction à calculer. Cette souplesse apparaît également dans le fait que les domaines où sont définies les équations aux dérivées partielles peuvent être approchés au mieux et, en particulier, il peut être tenu compte du caractère courbe des frontières de ces domaines ; de plus, les nœuds de la discrétisation, c’est-à-dire les points où sont approchées les fonctions à calculer, peuvent être répartis de façon arbitraire, ce qui permet d’avoir un maillage serré dans les zones à forte variation de la solution et un maillage relativement grossier dans les régions où cette solution varie peu ; dans le même ordre d’idée, il n’est pas nécessaire d’utiliser des maillages uniformes à pas constant, la définition d’éléments de dimension variable s’effectuant sans difficulté ; cela est particulièrement appréciable lors de l’étude des phénomènes définis dans des milieux hétérogènes. Enfin, sur le plan informatique, la méthode des éléments finis conduit à l’écriture de code de calculs les plus généraux possible, ce qui correspond certes à un avantage mais aussi à un inconvénient, compte tenu de la difficulté pratique de programmation de cet algorithme ; il convient de noter cependant que le schéma de principe du code est relativement simple, la complexité découlant des innombrables possibilités qu’offre la méthode. De plus, le développement d’un tel code nécessite de longs mois de programmation.
Une autre difficulté de compréhension de la méthode des éléments finis réside dans le formalisme mathématique préalable et sous-jacent à la mise en œuvre algorithmique. En effet, compte tenu de la complexité croissante des modèles mathématiques permettant la compréhension de phénomènes de plus en plus compliqués à expliquer, il a été nécessaire de s’appuyer sur des résultats d’analyse fonctionnelle élaborés [1] pour formuler cette méthode d’approximation. Paradoxalement, ce cadre conceptuel abstrait permet de ne pas imposer aux solutions éventuelles d’être indéfiniment dérivables mais au contraire de rechercher la dérivabilité minimale que l’on doit imposer afin que les écritures mathématiques aient un sens. Cela permet d’obtenir une formulation du problème qui peut s’interpréter sur le plan physique soit comme la solution d’un problème de minimisation d’énergie, à condition toutefois que certaines propriétés de symétrie soient vérifiées (ce qui n’est pas toujours le cas), soit grâce à une analogie avec le classique théorème des travaux virtuels. Ce second point de vue a été préféré à l’aspect minimisation du fait de sa plus grande facilité d’exposition et de sa plus grande généralité. Cette partie théorique sera abordée de manière progressive, les aspects conceptuels étant essentiellement exposés en dimension un mais de telle sorte que la généralisation à la dimension deux ou trois s’effectue de manière naturelle.
Il convient de noter pour terminer que la mise en œuvre informatique n’a pas été volontairement abordée dans la mesure où la présentation de l’implantation de cette méthode aurait considérablement alourdi l’exposé ; cependant les aspects abordés dans cet article facilitent la compréhension des phases de programmation de la méthode des éléments finis.
Cet ensemble se compose de trois articles :
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[AF 503] Approche variationnelle pour la méthode des éléments finis ;
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[AF 504] Introduction à la méthode des éléments finis ;
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[AF 505] Présentation générale de la méthode des éléments finis.
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1. Présentation générale
La méthode des éléments finis est une méthode d’approximation des solutions d’équations aux dérivées partielles qui est construite à partir d’une formulation équivalente du problème à résoudre ; cette dernière est appelée formulation variationnelle du problème et nécessite le minimum de régularité de la solution.
Cette phase de transformation du problème est certainement la plus délicate et la plus difficile à traiter car, en toute rigueur, elle nécessite l’utilisation de notions mathématiques très fines et très abstraites, comme la théorie des distributions. Dans cet article, nous nous sommes efforcés d’aplanir les difficultés en considérant pour commencer d’une part la modélisation d’un problème simple, ce qui permet de vérifier l’équivalence de la formulation de divers problèmes, et d’autre part des équations aux dérivées partielles définies dans un domaine
monodimensionnel. La généralisation à des domaines inclus dans
ou
s’effectue en toute rigueur grâce à l’utilisation de la théorie des distributions ; pour notre part, nous avons préféré utiliser la formule de Green, qui généralise la formule d’intégration par parties utilisée dans le cas précédent simple où
. Par ailleurs, la formulation variationnelle d’une équation aux dérivées partielles nécessite l’utilisation d’espaces fonctionnels, les espaces de Sobolev, que nous définissons de la façon la plus simple possible ; ces espaces sont importants car ils rendent compte en fait de la régularité des fonctions à approcher au mieux. Enfin on donne quelques indications sur la formulation du problème d’équation aux dérivées partielles...
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Présentation générale
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - DAUTRAY (R.), LIONS (J.L.) - Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques. - Tome 1 à tome 9, Masson (1988).
-
(2) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle. - Collection Mathématiques Appliquées, Masson (1982).
-
(3) - RAVIART (P.A.), THOMAS (J.M.) - Introduction à l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles. - Collection Mathématiques Appliquées, Masson (1983).
-
(4) - CIARLET (P.G.) - Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation. - Collection Mathématiques Appliquées, Masson (1982).
-
(5) - CIARLET (P.G.) - The finite element method for elliptic problems. - North-Holland (1978).
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