Analyse mathématique du problème
Approche variationnelle pour la méthode des éléments finis

Depuis l’avènement des ordinateurs il y a maintenant plus d’un demi-siècle et, compte tenu en particulier de l’augmentation de leur puissance de calcul, la simulation numérique a remplacé l’expérimentation directe trop coûteuse et longue à mettre en œuvre ; celle-ci n’est plus, de nos jours, qu’un moyen de vérification des calculs effectués sur machine. Sur le plan mathématique, la simulation numérique nécessite essentiellement la résolution numérique d’équations aux dérivées partielles qui conduisent à l’obtention de solutions approchées. Il existe de nombreuses méthodes d’approximation qui présentent toutes des avantages et des inconvénients ; citons, à titre illustratif, la méthode des différences finies, la méthode des volumes finis, les méthodes spectrales, etc.

Dans les trois articles qui composent cet ensemble, nous nous intéressons à la méthode des éléments finis qui est très utilisée dans l’industrie, en particulier en aéronautique, dans l’industrie automobile, en météorologie, etc. Cette méthode est intéressante, compte tenu de sa souplesse d’utilisation, en particulier vis-à-vis de l’approximation des divers opérateurs modélisant des phénomènes en physique-mathématique et également pour la prise en compte de conditions aux limites portant sur les gradients de la fonction à calculer. Cette souplesse apparaît également dans le fait que les domaines où sont définies les équations aux dérivées partielles peuvent être approchés au mieux et, en particulier, il peut être tenu compte du caractère courbe des frontières de ces domaines ; de plus, les nœuds de la discrétisation, c’est-à-dire les points où sont approchées les fonctions à calculer, peuvent être répartis de façon arbitraire, ce qui permet d’avoir un maillage serré dans les zones à forte variation de la solution et un maillage relativement grossier dans les régions où cette solution varie peu ; dans le même ordre d’idée, il n’est pas nécessaire d’utiliser des maillages uniformes à pas constant, la définition d’éléments de dimension variable s’effectuant sans difficulté ; cela est particulièrement appréciable lors de l’étude des phénomènes définis dans des milieux hétérogènes. Enfin, sur le plan informatique, la méthode des éléments finis conduit à l’écriture de code de calculs les plus généraux possible, ce qui correspond certes à un avantage mais aussi à un inconvénient, compte tenu de la difficulté pratique de programmation de cet algorithme ; il convient de noter cependant que le schéma de principe du code est relativement simple, la complexité découlant des innombrables possibilités qu’offre la méthode. De plus, le développement d’un tel code nécessite de longs mois de programmation.

Une autre difficulté de compréhension de la méthode des éléments finis réside dans le formalisme mathématique préalable et sous-jacent à la mise en œuvre algorithmique. En effet, compte tenu de la complexité croissante des modèles mathématiques permettant la compréhension de phénomènes de plus en plus compliqués à expliquer, il a été nécessaire de s’appuyer sur des résultats d’analyse fonctionnelle élaborés [1] pour formuler cette méthode d’approximation. Paradoxalement, ce cadre conceptuel abstrait permet de ne pas imposer aux solutions éventuelles d’être indéfiniment dérivables mais au contraire de rechercher la dérivabilité minimale que l’on doit imposer afin que les écritures mathématiques aient un sens. Cela permet d’obtenir une formulation du problème qui peut s’interpréter sur le plan physique soit comme la solution d’un problème de minimisation d’énergie, à condition toutefois que certaines propriétés de symétrie soient vérifiées (ce qui n’est pas toujours le cas), soit grâce à une analogie avec le classique théorème des travaux virtuels. Ce second point de vue a été préféré à l’aspect minimisation du fait de sa plus grande facilité d’exposition et de sa plus grande généralité. Cette partie théorique sera abordée de manière progressive, les aspects conceptuels étant essentiellement exposés en dimension un mais de telle sorte que la généralisation à la dimension deux ou trois s’effectue de manière naturelle.

Il convient de noter pour terminer que la mise en œuvre informatique n’a pas été volontairement abordée dans la mesure où la présentation de l’implantation de cette méthode aurait considérablement alourdi l’exposé ; cependant les aspects abordés dans cet article facilitent la compréhension des phases de programmation de la méthode des éléments finis.

Cet ensemble se compose de trois articles :

• [AF 503] Approche variationnelle pour la méthode des éléments finis ;

• [AF 504] Introduction à la méthode des éléments finis ;

• [AF 505] Présentation générale de la méthode des éléments finis.