Quelques éléments d'estimation
Filtrage de Kalman

Dans de nombreuses applications telles qu'en télécommunication, télédétection, géolocalisation, contrôle industriel, séismologie ou encore en ingénierie biomédicale, le signal qui porte l'information cachée n'est pas accessible directement et noyé dans le signal observé. Le développement de méthodes de l'information cachée est en conséquence un enjeu important pour les différentes applications et est à l'origine d'une littérature scientifique très riche en traitement du signal. Dans le cas d'un système de communication numérique par exemple, le récepteur reçoit une version du signal émis dégradée par du bruit et des interférences de différentes natures (interférences entre symboles, co-canaux ou canaux d'accès multiples). Le récepteur, dont le rôle est d'extraire du signal reçu les symboles émis, est constitué de traitements successifs dont l'ensemble forme un estimateur. Autre exemple, la poursuite d'un véhicule par un système radar est obtenue par l'estimation de la vitesse et de la position du véhicule à partir d'un signal radar.

La problématique qui se pose alors est de savoir au regard de l'observation et d'hypothèses sur le système, comment estimer au mieux le signal utile. Wiener fut le premier à proposer en 1949 une solution  dans le cas où les signaux mis en jeu sont stationnaires. Il développa un estimateur linéaire minimisant l'erreur quadratique moyenne obtenue en résolvant l'équation de Wiener-Hopf.

Kalman proposa, en 1960  , une alternative au filtre de Wiener qui s'affranchit de la stationnarité du processus observé et de celui caché. Le filtre de Kalman est basé sur un modèle d'état linéaire qui met en équation l'évolution du signal utile, et sa relation au signal mesuré ainsi que sur un critère d'optimisation qui exploite toutes les observations, de l'instant initial à l'instant courant. Le filtre obtenu par Kalman est récursif, sa réponse en chaque instant n'est en effet fonction que du signal observé en son entrée et de sa réponse à l'itération précédente (figure 1). Ainsi, le filtre de Kalman ne nécessite pas toutes les données passées pour produire une estimation à l'instant courant. Il ne nécessite donc pas de mise en mémoire et de retraitement des données. Cet avantage rend possible l'implémentation du filtre de Kalman pour des applications en temps réel.

Dans cet article, nous commençons par introduire des éléments d'estimation statistique dans le cas où la variable ou le processus à estimer sont cachés, nous rappellerons en particulier les critères du maximum a posteriori et de l'erreur quadratique moyenne minimale. Dans le paragraphe suivant, le modèle dynamique d'état est décrit, il est formé de l'équation du processus d'état que le filtre de Kalman cherche à estimer et du processus de mesure, seules données observables. Le paragraphe 4 est consacré à l'estimation séquentielle du processus caché. L'algorithme récursif de calcul de la loi a posteriori est ensuite dans le cas général puis dans le cas où le modèle dynamique d'état est linéaire et les bruits d'état et de mesure sont gaussiens. Nous en déduisons ensuite le filtre de Kalman. L'objectif du paragraphe 5 est l'estimation du processus d'état pour un modèle dynamique d'état non linéaire. Le filtre de Kalman étendu (EKF) est développé et illustré par un exemple. Enfin, le paragraphe 6 est consacré à l'étude des performances des estimateurs par la borne de Cramer Rao a posteriori. Une conclusion et des ouvertures sur d'autres familles d'estimateurs terminent cette synthèse sur le filtre de Kalman.