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RÉSUMÉ
Sur la base d'une formulation mathématique allégée et illustrée par des exemples, l'article expose la théorie des probabilités appliquée aux traitements de données physiques. Les concepts de variables aléatoires discrètes et continues sont introduits, puis étendus au calcul des moments et écarts types. Cette analyse est suivie de l'examen des principales lois de probabilités exprimées en termes de fonctions de densité de probabilité. Ces concepts sont ensuite élargis aux lois de probabilités comprenant deux variables ou plus. Pour conclure, l'intérêt porte sur les variables aléatoires corrélées.
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Based on a simple mathematical approach illustrated by a large number of examples, this article deals with the theory of probabilities applied to physical data processing. The concepts of discrete and continuous random variables are introduced and extended to the calculation of moments and standard deviations. This analysis is followed by the study of the main probability laws expressed in terms of probability density. These concepts are then extended to probability laws involving two variables or more. The article concludes on correlated random variables.
Auteur(s)
-
Bernard DEMOULIN : Professeur émérite - Université Lille 1, Groupe TELICE de l’IEMN, UMR CNRS 8520
INTRODUCTION
L’article rassemble quelques éléments de la théorie des probabilités en vue d’applications ultérieures aux traitements de données physiques. Dans ce contexte, le titre « processus aléatoires » signifie que l’on s’adresse à des systèmes régis par un grand nombre de paramètres procurant une ou plusieurs variables aux comportements imprévisibles.
L’opportunité se présentera à plusieurs reprises de rencontrer dans le texte les termes « stochastique » et « statistique », parfois substitués à l’adjectif « aléatoire ». En toute rigueur, ces trois qualificatifs ne jouissent pas de propriétés forcément similaires. Si le terme « aléatoire » est fréquemment employé pour désigner des variables échappant à tout caractère déterministe, ce n’est pas le cas des variables prises au sens stochastique ou statistique.
Prenons un exemple, aujourd’hui les prévisions météorologiques apportent quotidiennement la preuve que les températures moyennes en un lieu géographique donné et en toute période de l’année s’avèrent parfaitement prévisibles. Par contre, la température réelle estimée sur le long terme demeure aléatoirement située autour de la moyenne. Pour cette raison, la variable température possède les propriétés d’une variable stochastique. Quant au terme « statistique », l’usage est généralement circonscrit à la construction de bases de données alimentées par des variables aléatoires. On le rencontre également pour édifier des critères rattachés à ces données. Par exemple, la marge d’incertitude engendrée par le calcul de la valeur moyenne d’une population de N variables aléatoires, relève de propriétés statistiques.
L’article comporte six paragraphes aux contenus successivement consacrés à la définition des événements et variables aléatoires, aux probabilités des variables aléatoires discrètes, aux densités de probabilités des variables aléatoires continues, aux calculs des moyennes et moments, aux lois de probabilités usuelles et, pour conclure, à l’extension de la théorie des probabilités à deux ou plusieurs variables aléatoires.
Les différentes subdivisions des six paragraphes sont agrémentées d’exemples principalement empruntés à la théorie cinétique des gaz. En effet, le lien entre la mécanique microscopique des molécules et le concept thermodynamique constitue un cas d’école idéal pour le champ d’application présentement envisagé.
Ce texte ainsi que ses prolongements naturels suivis des articles [R 220] et [R 221] adoptent une approche très appliquée du sujet. Il est évident que le lecteur désireux découvrir une présentation beaucoup plus fondamentale des choses trouvera avantage à consulter d’autres traités, notamment les articles [AF 165], [AF 166] de la collection ainsi que la littérature abondante dont certains ouvrages figurent en références bibliographiques.
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VERSIONS
- Version archivée 1 de avr. 1990 par Bernard DEMOULIN
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Probabilités des variables aléatoires discrètes
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1. Probabilité, événements et variables aléatoires
1.1 Événements et variables aléatoires
Les événements aléatoires et les variables aléatoires s’opposent aux événements et variables déterministes dans la mesure où il est impossible d’en prévoir précisément les occurrences ou les valeurs numériques. Avant d’aborder la notion de probabilité, objet principal de ce paragraphe, on illustrera sur la base d’exemples ce que représentent concrètement un événement aléatoire, une variable aléatoire discrète ou une variable aléatoire continue.
HAUT DE PAGE1.1.1 Notions d’événement aléatoire
Prenons l’exemple d’une expérience consistant au lancer d’une pièce de monnaie dont le résultat est tout à fait représentatif d’événements aléatoires binaires. L’expérience explore deux états constituant deux événements à occurrence aléatoire. L’apparition du côté « face » de la pièce forme l’événement désigné par convention e 1, l’apparition du côté « pile », l’événement e 2. Le test ainsi réalisé peut être réuni dans un ensemble E composé de e 1 et e 2 et présenté sous la notation :
Dans un tout autre cadre, un événement peut être constitué par la détection de parasites radioélectriques sur un récepteur connecté à une antenne. Pour un seuil de détection préalablement fixé, au cours d’une séquence de mesure de durée T 0, on détecte ej parasites, la valeur numérique de ej va donc mesurer ce que l’on entend par événements. En adoptant ce protocole, lors d’une campagne de mesures comportant N séquences de durée T 0, on relève le nombre d’événements ej collectés...
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Probabilité, événements et variables aléatoires
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BASS (J.) - Éléments de calcul des probabilités - . Éditions, Masson (1967).
-
(2) - PAPOULIS (A.) - Probability, random variables and stochastic process. - Publisher, McGraw-Hill, New York (1991).
-
(3) - BRUHAT (G.) - Cours de physique générale, Thermodynamique. - Sixième édition revue et augmentée par Alfred Kastler Éditions, Masson (1968).
-
(4) - FLEURY (P.), MATHIEU (J.P.) - Physique générale et expérimentale, Atomes, Molécules, Noyaux. - Éditions, Eyrolles, Paris (1966).
-
(5) - WEHR (M.R.), RICHARDS (J.A. jr), ADAIR (D.W. III) - Physic of the atom, Fourth edition. - Publisher, Addison Wesley, Menlo Park CA (1984).
-
(6) - HILL (D.A.) - Plane wave integral representation of fields...
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