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En anglais
RÉSUMÉ
Sur la base d'une formulation mathématique allégée et illustrée par des exemples, l'article expose la théorie des probabilités appliquée aux traitements de données physiques. Les concepts de variables aléatoires discrètes et continues sont introduits, puis étendus au calcul des moments et écarts types. Cette analyse est suivie de l'examen des principales lois de probabilités exprimées en termes de fonctions de densité de probabilité. Ces concepts sont ensuite élargis aux lois de probabilités comprenant deux variables ou plus. Pour conclure, l'intérêt porte sur les variables aléatoires corrélées.
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Based on a simple mathematical approach illustrated by a large number of examples, this article deals with the theory of probabilities applied to physical data processing. The concepts of discrete and continuous random variables are introduced and extended to the calculation of moments and standard deviations. This analysis is followed by the study of the main probability laws expressed in terms of probability density. These concepts are then extended to probability laws involving two variables or more. The article concludes on correlated random variables.
Auteur(s)
-
Bernard DEMOULIN : Professeur émérite - Université Lille 1, Groupe TELICE de l’IEMN, UMR CNRS 8520
INTRODUCTION
L’article rassemble quelques éléments de la théorie des probabilités en vue d’applications ultérieures aux traitements de données physiques. Dans ce contexte, le titre « processus aléatoires » signifie que l’on s’adresse à des systèmes régis par un grand nombre de paramètres procurant une ou plusieurs variables aux comportements imprévisibles.
L’opportunité se présentera à plusieurs reprises de rencontrer dans le texte les termes « stochastique » et « statistique », parfois substitués à l’adjectif « aléatoire ». En toute rigueur, ces trois qualificatifs ne jouissent pas de propriétés forcément similaires. Si le terme « aléatoire » est fréquemment employé pour désigner des variables échappant à tout caractère déterministe, ce n’est pas le cas des variables prises au sens stochastique ou statistique.
Prenons un exemple, aujourd’hui les prévisions météorologiques apportent quotidiennement la preuve que les températures moyennes en un lieu géographique donné et en toute période de l’année s’avèrent parfaitement prévisibles. Par contre, la température réelle estimée sur le long terme demeure aléatoirement située autour de la moyenne. Pour cette raison, la variable température possède les propriétés d’une variable stochastique. Quant au terme « statistique », l’usage est généralement circonscrit à la construction de bases de données alimentées par des variables aléatoires. On le rencontre également pour édifier des critères rattachés à ces données. Par exemple, la marge d’incertitude engendrée par le calcul de la valeur moyenne d’une population de N variables aléatoires, relève de propriétés statistiques.
L’article comporte six paragraphes aux contenus successivement consacrés à la définition des événements et variables aléatoires, aux probabilités des variables aléatoires discrètes, aux densités de probabilités des variables aléatoires continues, aux calculs des moyennes et moments, aux lois de probabilités usuelles et, pour conclure, à l’extension de la théorie des probabilités à deux ou plusieurs variables aléatoires.
Les différentes subdivisions des six paragraphes sont agrémentées d’exemples principalement empruntés à la théorie cinétique des gaz. En effet, le lien entre la mécanique microscopique des molécules et le concept thermodynamique constitue un cas d’école idéal pour le champ d’application présentement envisagé.
Ce texte ainsi que ses prolongements naturels suivis des articles [R 220] et [R 221] adoptent une approche très appliquée du sujet. Il est évident que le lecteur désireux découvrir une présentation beaucoup plus fondamentale des choses trouvera avantage à consulter d’autres traités, notamment les articles [AF 165], [AF 166] de la collection ainsi que la littérature abondante dont certains ouvrages figurent en références bibliographiques.
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VERSIONS
- Version archivée 1 de avr. 1990 par Bernard DEMOULIN
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Conclusion
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6. Lois de probabilités à plusieurs variables
Dans les paragraphes précédents, les lois de probabilité ne comportaient qu’une seule variable. En pratique ce n’est pas forcément le cas, car de nombreux processus résultent de la contribution de deux variables ou plus. L’application des lois de probabilité mettant en œuvre plusieurs variables apparaîtra plus particulièrement dans l’article [R 221] consacré aux tests statistiques. Ce sixième paragraphe sera donc élargi aux lois de probabilité faisant intervenir plus d’une variable. On procédera tout d’abord à l’étude de processus comprenant deux variables indépendantes discrètes ou continues en étendant à ce cas de figure les concepts de fonction de densité de probabilité, de moments d’ordre n et de fonction caractéristique.
Le sous-paragraphe 6.2 sera ensuite entièrement consacré à l’analyse des lois de probabilité du χ2 et de Student. Ces lois possèdent la propriété commune d’intégrer simultanément N variables suivant toutes la loi normale. Les lois de χ2 et de Student trouvent principalement des applications lors de certains tests statistiques de données aléatoires.
Pour conclure, le sous-paragraphe 6.3 regarde le comportement de processus gouvernés par deux variables aléatoires corrélées. On procédera à la définition du coefficient de corrélation ainsi qu’à la présentation de la loi normale étendue à deux variables corrélées.
6.1 Principales propriétés des processus à deux variables indépendantes
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Lois de probabilités à plusieurs variables
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BASS (J.) - Éléments de calcul des probabilités - . Éditions, Masson (1967).
-
(2) - PAPOULIS (A.) - Probability, random variables and stochastic process. - Publisher, McGraw-Hill, New York (1991).
-
(3) - BRUHAT (G.) - Cours de physique générale, Thermodynamique. - Sixième édition revue et augmentée par Alfred Kastler Éditions, Masson (1968).
-
(4) - FLEURY (P.), MATHIEU (J.P.) - Physique générale et expérimentale, Atomes, Molécules, Noyaux. - Éditions, Eyrolles, Paris (1966).
-
(5) - WEHR (M.R.), RICHARDS (J.A. jr), ADAIR (D.W. III) - Physic of the atom, Fourth edition. - Publisher, Addison Wesley, Menlo Park CA (1984).
-
(6) - HILL (D.A.) - Plane wave integral representation of fields...
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