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Auteur(s)
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Jacques POIRIER : Ingénieur de l’École Centrale de Paris, Docteur-Ingénieur - Conseiller du Directeur des Réacteurs Nucléaires au Commissariat à l’Énergie Atomique - Chargé de mission auprès des Secrétaires Perpétuels de l’Académie des Sciences - Professeur associé au Conservatoire National des Arts et Métiers
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L’ingénieur doit très souvent répondre à une question d’importance pratique considérable, qui est : « est-ce que tel ou tel facteur influence le résultat de mesure ? » Plus précisément, de telles questions peuvent être : « Est‐ce que telle impureté affecte les caractéristiques mécaniques de tel matériau ?» ou bien : « Est-ce que tous les opérateurs conduisant tel gros appareil en travail posté aboutissent effectivement au même résultat, à la même qualité ? » ou bien : « Est‐ce que tel paramètre, qu’on a de bonnes raisons physiques d’estimer important, influence réellement les résultats de mesure ? »
L’outil privilégié pour effectuer ce genre d’étude est l’analyse de la variance.
Nous examinerons successivement l’analyse de la variance à simple entrée (§ 2 et 3), où l’on cherche à déterminer l’influence d’un seul facteur, puis l’analyse de la variance à double entrée (§ 4 et 5 : deux facteurs, ayant éventuellement une interaction entre eux) et le cas particulier de l’analyse de la variance emboîtée 6.
L’influence d’un facteur
sur un résultat de mesure
ayant été mise en évidence, il est souvent utile de chercher à préciser cette liaison entre deux variables : la méthode de régression 7 a pour objet la recherche d’une fonction représentant cette liaison.
Cet article fait suite aux articles Observation statistique Observation statistique, Estimateurs et tests d’hypothèses Estimateur et tests d’hypothèses, auxquels il est fait référence dans le cours du texte ; les tables numériques se trouvent dans l’article Tables statistiques Tables statistiques.
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Analyse de la variance à simple entrée
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1. Les hypothèses de l’analyse de la variance
Les facteurs dont on cherche s’ils ont (ou non) une influence significative sur les résultats de mesure sont appelés facteurs contrôlés. L’étude de leur action se fait à partir d’une expérience composée d’un ensemble de mesures ; les mesures sont caractérisées par des valeurs définies (niveaux) de ces facteurs.
La technique d’analyse de la variance suppose que les résultats de mesures soient distribués selon une même loi de Gauss quelle que soit la valeur du facteur étudié susceptible d’avoir une influence sur les résultats de mesure. Cette condition, mathématique, rebute souvent ceux qui pourraient avoir recours à ce type d’analyse. C’est pourquoi il apparaît nécessaire de réfléchir à la signification physique de cette condition mathématique.
Prenons un exemple simple qui est la mesure de la limite d’élasticité d’un acier AFNOR XC 18S. Cela signifie principalement que la teneur en carbone est comprise entre 0,15 et 0,20 % et qu’il est « soudable » dans des conditions standards. Mais, naturellement, le métallurgiste sait bien que les propriétés de l’acier résultent de toutes les opérations d’élaboration, de traitements thermiques, de mise en forme qu’il a subies.
Ces propriétés vont donc, implicitement, être dépendantes – certes de façon tout à fait secondaire – de la présence des métaux qui se comportent grosso modo comme le fer lors de l’élaboration (le manganèse), des traces de métaux servant à « calmer » l’acier, des traces de gaz occlus et notamment de l’azote, et, de façon moins négligeable, des alignements de sulfures, phosphures et autres précipités fragilisants. Elles vont dépendre de la structure métallurgique et de la morphologie à l’échelle du grain, résultat des traitements thermomécaniques (corroyage, trempe, revenu). Elles vont dépendre de l’état d’écrouissage. En outre, elles vont être un peu influencées par la forme précise de l’éprouvette, par le soin mis à l’usiner, par l’alignement de l’éprouvette sur la machine de traction, par le protocole de l’essai lui-même, pourquoi pas par des « manies » de l’opérateur. On conviendra qu’on ne peut décidément pas tenir compte de tous ces paramètres...
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