Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Le comportement rigide-plastique est une schématisation du comportement réel des alliages métalliques. Cette schématisation sert de base à la construction de tous les modèles de comportement plastique plus réalistes L’objectif de cette théorie est de décrire le comportement du matériau rigide plastique dans un état de contrainte et de déformation plus général que celui observé dans les essais de mono-chargement, comme la traction, la torsion ou la flexion. Pour cela, il est nécessaire de faire diverses hypothèses et de négliger dans un premier temps des phénomènes plus fins que présentent les matériaux réels.
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Rigid-plastic behavior is a mapping of the actual behavior of metallic alloys. This mapping serves as the basis for the construction of all the more realistic models of plastic behavior. The objective of this theory is to describe the behavior of rigid-plastic material in a state of stress and deformation broader than that observed in mono-load testing, such as traction, torsion and bending. For that, it is necessary to make various assumptions and initially disregard the finer phenomena that occur in actual materials.
Auteur(s)
-
Eric FELDER : Ingénieur civil des Mines de Paris, Docteur ès Sciences - Maître de recherches au Centre de mise en forme des matériaux (CEMEF) - École des Mines de Paris, CNRS de Sophia-Antipolis
INTRODUCTION
Comme vu au § 4.1 du dossier [M3002], le comportement rigide-plastique est une schématisation du comportement réel des alliages métalliques. Celle-ci sert de base à la construction de tous les modèles de comportement plastique plus réalistes. Il est donc particulièrement instructif de le présenter en premier lieu.
L’objectif de cette théorie est de décrire le comportement du matériau RPP dans un état de contrainte et de déformation plus général que celui observé dans les essais de mono-chargement (traction, torsion, flexion) ainsi que de préciser les relations entre les grandeurs mesurées dans ces divers essais. Pour cela, il est nécessaire de faire diverses hypothèses et de négliger dans un premier temps des phénomènes plus fins que présentent les matériaux réels.
Les notions fondamentales de la plasticité disposent d’un cadre très simple, mais fondamental ; à savoir le corps rigide-plastique ou RPP.
Dans ce dossier, nous aborderons :
-
le critère de plasticité ;
-
la loi d’écoulement plastique ;
-
la description du frottement ;
-
un énoncé des théorèmes permettant l’analyse des opérations de mise en forme ;
-
à la fin, une illustration significative à travers l’exemple du laminage avec traction de tôles fines.
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Cas des discontinuités de vitesse
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4. Théorèmes extrémaux
Le fait que le matériau obéisse au principe du travail maximal a des conséquences mathématiques remarquables sous la forme de deux théorèmes établis vers 1952 et qui permettent la résolution de manière plus ou moins approchée des équations de l’écoulement plastique.
Il faut insister sur le fait que ces théorèmes, dans leur version originale, ne sont valables que sous des conditions bien précises : la géométrie globale de l’écoulement est fixée.
Nous supposons, en outre, le corps RPP avec une contrainte d’écoulement uniforme, mais la démonstration reste valable si cette contrainte d’écoulement varie d’un point à un autre de manière fixée.
Il faut aussi noter que leur extension avec la prise en compte des conditions aux limites imposées par les outils et les conséquences du frottement ne sont généralement pas justifiées clairement.
Enfin, des travaux plus récents, accomplis notamment dans les années 1990, ont permis d’étendre l’application du théorème de la borne supérieure à des conditions moins restrictives de géométrie et de rhéologie, dites « non-standard ». Ces extensions, que nous évoquerons au § 5.2, nécessitent, toutefois, des calculs complexes qui ne peuvent généralement être effectués que sur ordinateur. Elles sont donc devenues moins intéressantes avec le développement de programmes de calculs par éléments finis standard et industriels [5], [6] et [13].
4.1 Hypothèses générales sur les conditions aux limites
Nous considérons un écoulement plastique d’un corps de volume Ω limité par une surface S sur laquelle on suppose que s’exercent, soit des vitesses, soit des contraintes. On définit alors sur S le vecteur vd de la façon suivante (pour i = 1 - 3) :
-
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Théorèmes extrémaux
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BAQUE (P.) - Les problèmes de mise en forme des métaux et la théorie de la plasticité - , Sciences et Techniques de l’Armement 47, 2e fascicule, 381-405 (1973).
-
(2) - GERMAIN (P.) - Mécanique des milieux continues - , t. 1 : 444 p., 128 fig., t. 2 : 446 p., 109 fig., Éditions École Polytechnique et Marketing, Paris (1986).
-
(3) - BAQUE (P.), FELDER (E.), HYAFIL (J.), d’ESCATHA (Y.) - Mise en Forme des Métaux – Calculs en plasticité - , Dunod, Paris, t. 1 : 308 p., t. 2 : 403 p. (avec problèmes et exercices) (1974).
-
(4) - WAGONER (R.L.), CHENOT (J.-L.) - Fundamentals in metal forming - , John Wiley & Sons, New York, 389 p., 91 fig. (avec problèmes et exercices) (1997).
-
(5) - WAGONER (R.L.), CHENOT (J.-L.) - Metal forming analysis - , Cambridge University Press, New York, 376 p., 201 fig. (avec problèmes et exercices) (2001).
-
...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Lubrification en mise en forme – Principes généraux et choix
-
...
Références du dossier [M 3 003]
HILL (R.) - The mathematical theory of plasticity - , Clarendon Press, Oxford, 355 p., 90 fig. (1950).
MOREAU (J.J.) - Sur les lois de frottement, plasticité et viscosité - , C.R. Acad. Sc. Paris, t. 271, Série A, 608-611 (1970).
MANDEL (J.) - Variables cachées, puissante dissipée, dissipativité normale - , No spécial des Cah. Gr. Fr. Rh., 37-49 (janv. 1980).
GERMAIN (P.) - NGUYEN (Q.S.) - SUQUET (P.) - Continuum thermodynamics - , J. Appl. Mech. 50, 1010-1020 (1983).
JOHNSON (W.) - SOWERBY (R.) - VENTER (R.D.) - Plane strain slip line fields for metal deformation processes. A source book and bibliography - , 364 p., 147 fig., 6 pl. bibl. (892 réf.), Pergamon Press, Oxford (1982).
DRUCKER (D.C.) - CHEN (W.F.) - On the use of simple discontinuous fields to bound limit loads, in Engineering Plasticity - , HEYMAN (J.) et LECKIE (F.A.) (Ed.), Cambridge University Press, p. 129-145 (1968).
PUZRIN (A.M.) - RANDOLPH (M.F.) - On the superposition of plastically disipated work in upper bound limit analysis - , Proc. R. Soc. Lond. A 457, 567-586 (2001).
AZARJHIN (A.) - RICHMON (O.) - Extension of the upper bound method in include estimation of stresses - , J. Appl. Mech., 58, 493 (1991).
LIPMANN (H.) - TAKUDA (H.) - On the evaluation of the upper-bound approach to problems of rigid-plastic deformation under non-standard conditions - , Int. J. Mech. Sci. 31, No 1, 63-74 (1989).
AZARJHIN (A.) - RICHMON (O.) - A model of ploughing by a pyramidal indenter – upper-bound approach...
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