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RÉSUMÉ
Le mouvement des corps dans l’espace résulte principalement de l’action de la gravité. Le modèle de base est le problème à deux corps qui considère deux corps ponctuels soumis à la force de gravitation universelle. Sous ces hypothèses dites képlériennes, les trajectoires sont des coniques vérifiant les propriétés de conservation de l’énergie et du moment cinétique. Ces coniques sont repérées dans l’espace par les paramètres orbitaux, qui permettent une description simple du mouvement. L’article rappelle les résultats théoriques principaux et les formules de transformation de coordonnées utiles pour les applications pratiques.
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The motion of bodies in space is primarily governed by gravity laws. The basic model is the two-body problem which considers two particles submitted to the universal attraction law. Under these so-called keplerian assumptions, the trajectories are conics satisfying energy and angular momentum conservation properties. These conics are located in space through the orbital parameters which provide a simple description of the motion. The article recalls the main theoretical results and the coordinate change formulae useful for practical applications.
Auteur(s)
-
Max CERF : Ingénieur en analyse de mission - ArianeGroup, Les Mureaux, France
INTRODUCTION
Le problème à deux corps est le modèle fondamental de la mécanique orbitale. Il décrit le mouvement de deux corps ponctuels en interaction purement gravitationnelle, à l’exclusion de toute autre force. Ces hypothèses simplificatrices permettent d’aboutir à une expression analytique des trajectoires sous forme de coniques, vérifiant des propriétés de conservation de l’énergie et du moment cinétique. La nature de la conique (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole) dépend uniquement des conditions initiales de position et de vitesse. L’orbite képlérienne d’un satellite autour de la Terre est représentée géométriquement par ses paramètres orbitaux, qui sont reliés analytiquement à la position et la vitesse en fonction du temps. Un choix adapté des paramètres orbitaux permet une synchronisation du satellite avec les mouvements de la Terre (géosynchronisme) ou du Soleil (héliosynchronisme). Ces propriétés sont particulièrement bénéfiques pour les applications spatiales de télécommunication ou d’observation.
Le problème à deux corps obéit naturellement aux équations de la mécanique mais les solutions analytiques ne sont obtenues que sous certaines hypothèses. En particulier, les deux corps sont supposés sphériques et homogènes et il n'y a pas d'effet relativiste (rappelons que le déplacement du périhélie de Mercure est l'une des premières preuves de la validité de la théorie de la relativité générale).
Bien que simplifié, le modèle képlérien donne une très bonne approximation du mouvement réel d’un satellite artificiel. L’étude plus précise du mouvement nécessite la prise en compte de forces perturbatrices, principalement dues au potentiel gravitationnel terrestre, au frottement atmosphérique, à l’attraction de la Lune et du Soleil ou à la pression de radiation solaire. L’effet de ces forces sur une orbite képlérienne peut être étudié par des méthodes analytiques de perturbations ou par des méthodes numériques de simulations. L’objet de cet article est le mouvement képlérien. Il rappelle les notions et formules utiles à l’ingénieur travaillant sur des applications spatiales.
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MOTS-CLÉS
KEYWORDS
gravitation | orbital parameters | orbit | conic
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Mouvement képlérien2. Intégrales premières
Le problème à deux corps admet plusieurs intégrales premières, en particulier celles du moment cinétique, de l’énergie et du vecteur excentricité.
Une intégrale première d’un système dynamique est une quantité qui reste constante au cours du temps. La connaissance d’intégrales premières permet de délimiter les évolutions possibles du système, même lorsqu’il n’existe pas de solution analytique.
2.1 Moment cinétique
Le moment cinétique par unité de masse est
où
est la vitesse du corps 2 par rapport au corps 1. La dérivée de
est nulle :
( 4 )
Le vecteur moment cinétique
est constant au cours du mouvement.
La position et la vitesse étant constamment perpendiculaires à
, le mouvement a lieu dans un plan appelé plan orbital. En prenant pour origine O le corps 1 et pour axe de référence un axe Ox dans ce plan (figure 1), la position du corps 2 est définie par l’angle polaire θ et le rayon vecteur r, la vitesse du corps 2 a des composantes radiale
et...
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Intégrales premières
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BATTIN (R.) - An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics. - AIAA (1999).
-
(2) - CAPDEROU (M.) - Satellites : de Kepler au GPS. - Springer (2012).
-
(3) - CHOBOTOV (V.) - Orbital mechanics third edition. - AIAA (2002).
-
(4) - VALLADO (D.) - Fundamentals of astrodynamics and applications. - Microcosm Press, Springer (2007).
ANNEXES
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