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RÉSUMÉ
Sur la base d'une formulation mathématique allégée et illustrée par des exemples, l'article expose la théorie des probabilités appliquée aux traitements de données physiques. Les concepts de variables aléatoires discrètes et continues sont introduits, puis étendus au calcul des moments et écarts types. Cette analyse est suivie de l'examen des principales lois de probabilités exprimées en termes de fonctions de densité de probabilité. Ces concepts sont ensuite élargis aux lois de probabilités comprenant deux variables ou plus. Pour conclure, l'intérêt porte sur les variables aléatoires corrélées.
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Bernard DEMOULIN : Professeur émérite - Université Lille 1, Groupe TELICE de l’IEMN, UMR CNRS 8520
INTRODUCTION
L’article rassemble quelques éléments de la théorie des probabilités en vue d’applications ultérieures aux traitements de données physiques. Dans ce contexte, le titre « processus aléatoires » signifie que l’on s’adresse à des systèmes régis par un grand nombre de paramètres procurant une ou plusieurs variables aux comportements imprévisibles.
L’opportunité se présentera à plusieurs reprises de rencontrer dans le texte les termes « stochastique » et « statistique », parfois substitués à l’adjectif « aléatoire ». En toute rigueur, ces trois qualificatifs ne jouissent pas de propriétés forcément similaires. Si le terme « aléatoire » est fréquemment employé pour désigner des variables échappant à tout caractère déterministe, ce n’est pas le cas des variables prises au sens stochastique ou statistique.
Prenons un exemple, aujourd’hui les prévisions météorologiques apportent quotidiennement la preuve que les températures moyennes en un lieu géographique donné et en toute période de l’année s’avèrent parfaitement prévisibles. Par contre, la température réelle estimée sur le long terme demeure aléatoirement située autour de la moyenne. Pour cette raison, la variable température possède les propriétés d’une variable stochastique. Quant au terme « statistique », l’usage est généralement circonscrit à la construction de bases de données alimentées par des variables aléatoires. On le rencontre également pour édifier des critères rattachés à ces données. Par exemple, la marge d’incertitude engendrée par le calcul de la valeur moyenne d’une population de N variables aléatoires, relève de propriétés statistiques.
L’article comporte six paragraphes aux contenus successivement consacrés à la définition des événements et variables aléatoires, aux probabilités des variables aléatoires discrètes, aux densités de probabilités des variables aléatoires continues, aux calculs des moyennes et moments, aux lois de probabilités usuelles et, pour conclure, à l’extension de la théorie des probabilités à deux ou plusieurs variables aléatoires.
Les différentes subdivisions des six paragraphes sont agrémentées d’exemples principalement empruntés à la théorie cinétique des gaz. En effet, le lien entre la mécanique microscopique des molécules et le concept thermodynamique constitue un cas d’école idéal pour le champ d’application présentement envisagé.
Ce texte ainsi que ses prolongements naturels suivis des articles [R 220] et [R 221] adoptent une approche très appliquée du sujet. Il est évident que le lecteur désireux découvrir une présentation beaucoup plus fondamentale des choses trouvera avantage à consulter d’autres traités, notamment les articles [AF 165], [AF 166] de la collection ainsi que la littérature abondante dont certains ouvrages figurent en références bibliographiques.
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VERSIONS
- Version archivée 1 de avr. 1990 par Bernard DEMOULIN
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Lois de probabilités à plusieurs variables
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5. Lois de probabilité
Le concept de probabilité instauré dans les paragraphes précédents apportait la preuve de la diversité de comportement des variables aléatoires. Il était montré de manière purement intuitive que des expériences triviales mènent à des lois de probabilité appropriées à certains processus. Tel était le cas du lancer de dés, où la notion naturelle d’équiprobabilité amenait à joindre à ce type d’événement aléatoire une probabilité d’occurrence de 1/6.
Dans une toute autre perspective, la compréhension de phénomènes physiques gérés par des variables échappant aux prévisions déterministes amenât les scientifiques à rechercher des fonctions de densité de probabilité. L’exemple de la cinétique des gaz nous a révélé toute la puissance de ce raisonnement, par la mise en place de deux fonctions résumant la distribution des vitesses de molécules animées de mouvements désordonnés.
Parallèlement aux approches purement physiques des probabilités, des propriétés beaucoup plus mathématiques empruntées aux fonctions caractéristiques démontraient l’existence de la loi binomiale.
Ce cinquième paragraphe consacré aux lois de probabilités s’efforce d’élargir ce volet de la connaissance des processus aléatoires. On rappellera les principales lois de probabilité en insistant sur les propriétés exploitables pour le traitement des variables physiques.
Dans l’ordre d’apparition dans le texte, on trouvera successivement, la loi uniforme, la loi normale, la loi binomiale, la loi de Poisson ainsi que d’autres lois, parmi lesquelles figurent la loi de Cauchy et le calcul de fonctions de densité de probabilité intervenant à l’échelle de la structure de l’atome.
Chaque examen est accompagné du calcul des moments du premier et second ordre, de la variance et de l’écart type ainsi que la fonction caractéristique.
5.1 Loi uniforme
-
Variables discrètes
Soit un ensemble X de N variables aléatoires discrètes et Pj la probabilité jointe à la valeur x = Xj , dire que la variable suit une loi uniforme signifie que l’ensemble P des N probabilités compose N valeurs invariantes, telles que Pj = P...
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Lois de probabilité
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BASS (J.) - Éléments de calcul des probabilités - . Éditions, Masson (1967).
-
(2) - PAPOULIS (A.) - Probability, random variables and stochastic process. - Publisher, McGraw-Hill, New York (1991).
-
(3) - BRUHAT (G.) - Cours de physique générale, Thermodynamique. - Sixième édition revue et augmentée par Alfred Kastler Éditions, Masson (1968).
-
(4) - FLEURY (P.), MATHIEU (J.P.) - Physique générale et expérimentale, Atomes, Molécules, Noyaux. - Éditions, Eyrolles, Paris (1966).
-
(5) - WEHR (M.R.), RICHARDS (J.A. jr), ADAIR (D.W. III) - Physic of the atom, Fourth edition. - Publisher, Addison Wesley, Menlo Park CA (1984).
-
(6) - HILL (D.A.) - Plane wave integral representation of fields...
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