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RÉSUMÉ
L’article aborde l’étude de la propagation des ondes sur des structures unidimensionnelles composées selon le cas d’oscillateurs mécaniques ou électriques distribués périodiquement. Les concepts d’équivalences entre paramètres électriques et mécaniques permettront d’étendre l’analyse à la propagation d’ondes acoustiques dans des milieux continus, tels que des matériaux où les gaz. Pour conclure, on procédera à la construction de l’abaque de Smith et au descriptif de quelques exemples d’utilisation du calcul graphique de l’impédance d’entrée d’une ligne.
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This article deals with the study of wave propagation occurring along one space direction of periodically arrangements, involving either mechanical or electrical oscillators. Equivalence concept between electrical and mechanical parameters will be used to extend the problem with the propagation of acoustic waves through long shaped media like a sample of matter or a gas pipe. Last part of the article will be devoted to the construction of Smith chart and its use for the easy impedance computation at input port of any loaded transmission lines.
Auteur(s)
-
Bernard DÉMOULIN : Professeur émérite - - Université Lille 1, Groupe TELICE de l'IEMN, UMR CNRS 8520
INTRODUCTION
Les rides circulaires de l'impact d'un objet sur la surface parfaitement plane d'une pièce d'eau illustrent l'un des phénomènes de propagation les plus familiers. Cependant, si l'observation des ondes formées en surface paraît d'une grande banalité, leur compréhension physique et leur formulation mathématique n'en demeurent pas moins très sophistiquées.
Afin d'atténuer les difficultés théoriques, l'article consacré à l'analyse des phénomènes de propagation abordera le sujet dans un cadre conceptuel beaucoup plus simple que les ondes citées en exemple. Nous nous adressons par la suite aux ondes transportées suivant une seule dimension de l'espace. Pour cette raison les deux parties composant l'article feront de fréquents appels à la théorie des lignes de transmission exposée dans l'article [D 1 322] de la collection.
Le premier paragraphe entièrement consacré à la propagation d'ondes sur des structures périodiques aborde la question du mouvement de chaînes de résonateurs mécaniques ou de résonateurs électriques soumises à une excitation sinusoïdale entretenue. Aussi paradoxal que cela puisse paraître, la formulation des ondes propagées sur une structure périodique, donc discontinue, est fondée sur les concepts d'onde progressive et d'onde rétrograde issus de l'équation d'onde des milieux continus. Dans le cas particulier des structures périodiques, il sera toutefois montré l'existence d'une pulsation de coupure et d'un diagramme de dispersion de l'onde spécifiques à ces milieux. Les développements exposés dans ce premier paragraphe feront aussi largement appels aux critères d'équivalence consistant à faire correspondre à certains paramètres mécaniques des paramètres électriques ou vice versa. L'approche sera d'un grand intérêt dans le second paragraphe consacré à la propagation d'ondes dans des milieux matériels tels que des matériaux ou des fluides.
Le second paragraphe sera ainsi consacré à trois problèmes académiques consistant à former un lien entre la théorie des lignes et les structures périodiques analysées précédemment. Il sera montré qu'une chaîne de résonateurs électriques évolue sous certaines conditions de manière similaire à une ligne. Par l'artifice des équivalences, nous procéderons à l'analyse succincte de la propagation d'ondes acoustiques dans la matière condensée et dans les fluides. Deux paramètres particulièrement bien étudiés dans cette partie concerneront le calcul de la vitesse de propagation des ondes ainsi que l'extension des concepts d'impédances aux ondes transmises dans les milieux matériels.
Pour conclure l'article, la question du calcul de l'impédance d'entrée d'une ligne ou d'une structure quelconque continue terminée par une impédance sera expliquée et résolue graphiquement par l'usage de l'abaque de Smith.
Il est important de préciser que les analyses et développements font abstraction des phénomènes de dissipation d'énergie engendrés dans le support.
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KEYWORDS
Smith chart | acoustic waves | mechanical oscillators | electrical oscillators
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Propagation dans les milieux continus unidimensionnels
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1. Propagation entretenue sur des structures périodiques
La configuration matérielle génératrice de phénomènes de propagation tolérant la formulation mathématique la plus élémentaire est illustrée par l'enchaînement de masses ponctuelles liées par des forces élastiques. On se trouve effectivement en présence de cellules répétitives contenant des résonateurs mécaniques qui se prêtent facilement au calcul de phénomènes ondulatoires débouchant sur quelques propriétés physiques remarquables. Le modèle ainsi configuré pouvant également s'adresser à des résonateurs électriques constitués par l'enchaînement de quadripôles, ce premier paragraphe sera scindé en deux parties. L'une contient les démonstrations menant aux concepts de pulsation de coupure, de diagramme de dispersion et de vitesses d'ondes propagées sur une chaîne mécanique. La seconde étend ces concepts aux chaînes de résonateurs électriques, on fera alors largement appel au principe d'équivalence reliant les paramètres physiques mécaniques aux paramètres physiques électriques.
Très concrètement et sous l'hypothèse préalable de milieux soumis à des vibrations sinusoïdales entretenues, nous verrons se former les conditions de propagation d'une onde portant selon le cas le déplacement de masses de part et d'autre d'une position d'équilibre ou des échanges alternatifs de charges électriques. Les développements théoriques mettront en évidence une pulsation de coupure au-dessus de laquelle l'entretien de la propagation s'avère impossible. En contrepartie, aux pulsations entretenant la propagation des ondes, la poursuite de l'analyse fera apparaître la coexistence de trois vitesses de propagation respectivement liées à la vitesse de déplacement du front d'onde, à la vitesse de déplacement de la phase de l'onde, puis à la vitesse de l'amplitude de groupes d'ondes de pulsations infiniment proches.
1.1 Propagation du mouvement sur des chaînes de résonateurs mécaniques
Ce premier sous-paragraphe sera donc consacré à la mise en place d'équations différentielles permettant de décrire les oscillations d'une infinité de masses liées par des forces élastiques identiques. Ces équations donneront lieu à une relation de récurrence menant au calcul de la pulsation de coupure. L'analyse sera ensuite étendue au calcul des vitesses de propagation énoncées en préambule. Pour commencer...
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Propagation entretenue sur des structures périodiques
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BRILLOUIN (L.), PARODI (M.) - Propagation des ondes dans les milieux périodiques. - Éditions Masson (1956).
-
(2) - BRUHAT (G.) - Cours de physique générale, Thermodynamique. - 6e édition revue et augmentée par Alfred Kastler, éditions Masson (1968).
-
(3) - GABILLARD (R.) - Vibrations et phénomènes de propagation. - Éditions Dunod (1970).
-
(4) - WEHR (M.R.), RICHARDS (J.A.), ADAIR (D.W.III.) - Physik of the atom. - Fourth edition, Publisher Addison Wesley, Menlo park (CA) (1984).
-
(5) - DÉMOULIN (B.) - Enseignement élémentaire sur la propagation des ondes, Tome I. - Cours polycopié de licence, Édition de 2003, Université Lille 1 disponible sur le site iemn-telice, rubrique publications en ligne (2003).
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