Présentation
INTRODUCTION
L’application de forces extérieures (moment, effort normal et effort tranchant) à un système matériel élastique est prétexte, dans cet article, à explorer les principes de la thermodynamique à travers l’étude concrète de nombreux exemples types.
Les méthodes énergétiques de calculs en mécanique des structures passent par la connaissance de divers théorèmes, successivement abordés dans le cadre de cas pratiques. Par exemple :
-
le théorème de Clapeyron qui permet la compréhension du travail des forces extérieures ;
-
le théorème de réciprocité de (Maxwell) Betty qui facilite les calculs de réactions d’appuis de structures hyperstatiques, ou encore les déplacements de forces appliquées ;
-
le théorème de Castigliano qui exprime le potentiel en fonction de chaque force distincte, notamment dans les réactions de liaisons surabondantes des systèmes hyperstatiques ;
-
le théorème de Ménabréa, conséquence du théorème de Castigliano, qui est particulièrement bien adapté au calcul des réactions de systèmes hyperstatiques.
Une deuxième partie de l’article est consacrée à la méthode des forces dans les calculs des structures faiblement hyperstatiques. On y traite de l’intégrale de Mohr et de quelques exemples toutes méthodes confondues : sur une poutre à 2 appuis, pour la résolution des cadres et portiques (actions d’encastrement, système symétrique et antisymétrique,…), sur une structure en treillis, ou encore un pont à béquille.
Enfin, dans une troisième section, trois études de cas (une partie de bâtiment industriel, la particularité des charges mobiles — comme un convoi routier — et l’arc isostatique) constituent une analyse très pédagogique.
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Théorème de Clapeyron : travail des forces extérieuresDonnées
Considérons un système matériel élastique (S). Amenons ce système de l’état initial (1) à l’état final (2) par l’application d’un système de forces extérieures.
Le principe de la conservation de l’énergie nous permet d’écrire :
ΔQ + ΔWe = ΔE + ΔU
Où :
- ΔQ = quantité de chaleur fournie au système ;
- ΔWe = travail des forces extérieures ;
- ΔE = variation d’énergie cinétique ;
- ΔU = variation d’énergie interne.
Hypothèses
On formule deux hypothèses.
-
Les systèmes matériels (structures) étudiés passent de l’état 1 à l’état 2 par une succession d’états d’équilibre.
Ces systèmes sont stables (donc au moins isostatiques). En conséquence : ΔE = 0.
- On suppose les liaisons d’appuis parfaites, c’est-à-dire sans frottement, et les solides du système parfaitement élastiques (frottement interne négligeable ; liaisons fixes, déplacements dus aux déformations petits). Il n’y a pas d’apport de chaleur extérieure.
Dans ces conditions, on a : ΔQ = 0
On peut alors écrire : ΔWe = ΔU
Cette équation traduit le premier principe de la thermodynamique exprimant que le travail des forces extérieures ne dépend que de l’état initial et de l’état final du système, c’est-à-dire que la transformation se fait de manière réversible.
Le théorème de l’énergie cinétique appliqué au système s’écrit :
ΔE = ΔWe + ΔWi
Où ΔWi = travail des forces intérieures.
Dans notre cas, ΔE = 0, cela implique que :
ΔWe = – ΔWi = ΔU
Le travail des forces extérieures est donc égal (au signe près) au travail des forces intérieures au système, appelé aussi énergie de déformation ou encore potentiel interne.
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