Présentation
INTRODUCTION
L’application de forces extérieures (moment, effort normal et effort tranchant) à un système matériel élastique est prétexte, dans cet article, à explorer les principes de la thermodynamique à travers l’étude concrète de nombreux exemples types.
Les méthodes énergétiques de calculs en mécanique des structures passent par la connaissance de divers théorèmes, successivement abordés dans le cadre de cas pratiques. Par exemple :
-
le théorème de Clapeyron qui permet la compréhension du travail des forces extérieures ;
-
le théorème de réciprocité de (Maxwell) Betty qui facilite les calculs de réactions d’appuis de structures hyperstatiques, ou encore les déplacements de forces appliquées ;
-
le théorème de Castigliano qui exprime le potentiel en fonction de chaque force distincte, notamment dans les réactions de liaisons surabondantes des systèmes hyperstatiques ;
-
le théorème de Ménabréa, conséquence du théorème de Castigliano, qui est particulièrement bien adapté au calcul des réactions de systèmes hyperstatiques.
Une deuxième partie de l’article est consacrée à la méthode des forces dans les calculs des structures faiblement hyperstatiques. On y traite de l’intégrale de Mohr et de quelques exemples toutes méthodes confondues : sur une poutre à 2 appuis, pour la résolution des cadres et portiques (actions d’encastrement, système symétrique et antisymétrique,…), sur une structure en treillis, ou encore un pont à béquille.
Enfin, dans une troisième section, trois études de cas (une partie de bâtiment industriel, la particularité des charges mobiles — comme un convoi routier — et l’arc isostatique) constituent une analyse très pédagogique.
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I - Exemple de calcul
Hypothèse
Soit une structure S hyperstatique d’ordre « n » soumise à un système de charges P i .
Choisissons une structure isostatique fondamentale de référence S o .
On superpose les états d’équilibre suivants :
- État (0) : S o soumise aux charges extérieure P i . ;
- État (1) : S o soumise uniquement à un effort unitaire appliqué au niveau de la coupure 1 ;
- État (2) : S o soumise uniquement à un effort unitaire appliqué au niveau de la coupure 2, etc ;
- État (J) : S o soumise uniquement à un effort unitaire appliqué au niveau de la coupure (J) (ou à deux efforts unitaires opposés si la coupure est interne) ;
- État (n) : ... etc.
Résultat
On obtient, en appelant X j les valeurs des réactions hyperstatiques :
État hyperstatique = État (0) + X 1 État (1) + X 2 État (2) + X j État (J) + X n État (n)...
On appelle M, N, T les éléments de réduction dans une section de la structure S o , M o , N o , T o les éléments de réduction dans la même section de la structure S o sous l’état (0), et m j , n j , t j les éléments de réduction dans la même section de la structure S o sous l’État (j).
On a donc :
;
et
Énergie de déformation du système S
L’énergie de déformation (ou potentiel interne) du système S s’écrit :
Pour calculer les réactions hyperstatiques, il faut appliquer le théorème...
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