Présentation
INTRODUCTION
L’application de forces extérieures (moment, effort normal et effort tranchant) à un système matériel élastique est prétexte, dans cet article, à explorer les principes de la thermodynamique à travers l’étude concrète de nombreux exemples types.
Les méthodes énergétiques de calculs en mécanique des structures passent par la connaissance de divers théorèmes, successivement abordés dans le cadre de cas pratiques. Par exemple :
-
le théorème de Clapeyron qui permet la compréhension du travail des forces extérieures ;
-
le théorème de réciprocité de (Maxwell) Betty qui facilite les calculs de réactions d’appuis de structures hyperstatiques, ou encore les déplacements de forces appliquées ;
-
le théorème de Castigliano qui exprime le potentiel en fonction de chaque force distincte, notamment dans les réactions de liaisons surabondantes des systèmes hyperstatiques ;
-
le théorème de Ménabréa, conséquence du théorème de Castigliano, qui est particulièrement bien adapté au calcul des réactions de systèmes hyperstatiques.
Une deuxième partie de l’article est consacrée à la méthode des forces dans les calculs des structures faiblement hyperstatiques. On y traite de l’intégrale de Mohr et de quelques exemples toutes méthodes confondues : sur une poutre à 2 appuis, pour la résolution des cadres et portiques (actions d’encastrement, système symétrique et antisymétrique,…), sur une structure en treillis, ou encore un pont à béquille.
Enfin, dans une troisième section, trois études de cas (une partie de bâtiment industriel, la particularité des charges mobiles — comme un convoi routier — et l’arc isostatique) constituent une analyse très pédagogique.
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Méthode des forces (calculs des structures faiblement hyperstatiques)| Plan de la page |
I - Théorème de réciprocité de (Maxwell) Betty
A - Données
Considérons deux états d’équilibre distincts d’un système élastique identique S, le premier état étant obtenu en appliquant à S un système de forces extérieures {F 1 } et le second en lui appliquant un système {F 2 }.
- Sous {F 1 }, le déplacement d’un point A i de S vaut δ i1 , et sous {F2}, ce déplacement vaut δ i2 . De même sous {F1 + F2}, ce déplacement vaut δ i1 + δ i2 .
- Soit W 1 et W 2 les potentiels internes emmagasinés par S, respectivement sur l’action de {F 1 } et {F 2 }.
- Soit W le potentiel relatif à l’action de {F 1 + F 2 }.
Nous pouvons exprimer W en procédant de deux façons différentes.
À partir de l’état naturel de S, appliquons {F 1 }, puis superposons {F 2 }
L’étude du chemin de chargement donne de l’état initial « 0 » sans chargement, à l’état {F 1 } un potentiel interne W 1 .
De même, en superposant {F 2 }, cela donne en partant de {F 1 } un chargement {F 1 + F 2 } avec un potentiel interne W 2 + W 12 .
Ce qui revient à exprimer W (le potentiel relatif de F 1 + F 2 ) = W 1 + W 2 + W 12 , W 12 étant la somme des travaux des forces F 1 sous l’effet de l’application des forces F 2 .
À partir de l’état naturel de S, appliquons {F 2 } puis superposons {F 1 }
En procédant de la même manière que précédemment, nous...
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