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RÉSUMÉ
Les biomathématiques rassemblent les techniques de modélisation mathématique et de simulation de phénomènes dynamiques observés dans la nature, déclinées dans le domaine du vivant. Ces techniques de modélisation peuvent se décomposer en deux grandes familles, les biomathématiques discrètes et les biomathématiques continues, qui ont en commun le domaine récemment exploré des systèmes hybrides. Cet article privilégie dans sa présentation les techniques de la modélisation des systèmes vivants. La mise au point d’outils facilitant la formalisation de la dynamique à tous les niveaux de complexité du système vivant étudié, du gène à la population d’individus, en passant par la cellule et l’organisme, s’impose à l’avenir. Exemple est pris avec les mécanismes immunitaires innés et acquis chez les mammifères, en vue de corriger notamment des déficits de type paralysie.
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Jacques DEMONGEOT : Directeur adjoint du laboratoire AGIM, Informatique médicale, biomathématiques et modélisation de la cognition - Faculté de Médecine, Université Joseph Fourier (Grenoble)
INTRODUCTION
Les biomathématiques rassemblent les techniques de modélisation mathématique et de simulation de phénomènes dynamiques observés dans la nature, déclinées dans le domaine du vivant. Ces techniques de modélisation peuvent se décomposer en deux grandes familles :
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les biomathématiques discrètes, que nous illustrerons par la théorie des automates cellulaires (déterministes ou aléatoires) et ses applications à la modélisation des réseaux de régulation génétique et à celle des maladies contagieuses ;
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les biomathématiques continues, illustrées par la théorie des équations aux dérivées partielles appliquées au développement embryologique et à la modélisation de la diffusion des maladies infectieuses.
Ces deux familles de techniques de modélisation ont en commun un domaine assez récemment exploré, celui des systèmes hybrides, ayant une partie discrète et une partie continue.
Malgré la disparité apparente des domaines d’application, le spectre des sciences du vivant étant très large, la constance dans le choix d’outils classiques, à travers les articles récents dans les journaux internationaux de référence du domaine, conduit à penser que l’originalité des biomathématiques réside davantage dans la complexité des systèmes auxquelles elles s’appliquent, à la limite des possibilités de calcul en termes de dimension des systèmes étudiés et de nombre d’interactions entre leurs composants (ce qui oblige à implémenter des méthodes de calcul optimisant les temps d’exécution), que dans la création de nouveaux outils théoriques. L’introduction de méthodes multi-échelles en temps et en espace, de systèmes hybrides et d’approches énergétiques de type décomposition de Hodge (potentielle-hamiltonienne) constitue une tentative innovante dans la recherche de méthodologies spécifiques, sans représenter en soi une rupture du paradigme de la modélisation classique, qui introduirait des méthodes mathématiques totalement nouvelles, exigées par les spécificités du vivant. Une telle évolution n’est toutefois pas exclue dans l’avenir et nous en tracerons quelques perspectives.
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Biomathématiques discrètes pour la modélisation du vivant
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1. Introduction : description générale des biomathématiques
Les biomathématiques constituent un ensemble de modèles théoriques et de techniques de calcul et de simulation, destinées à comprendre la physiologie des systèmes vivants, pour expliquer, en particulier, les dysfonctionnements pathologiques de ceux-ci et exploiter la compréhension de leur mécanisme de survenue, pour les prédire, les prévenir et éventuellement les corriger. Nous décrirons, dans une première approche, l’utilisation explicative des biomathématiques, dans leur version discrète, puis continue, pour modéliser le vivant, en exposant la méthode, puis son application à un exemple. Ensuite, nous donnerons, dans une vision prospective, quelques exemples d’utilisation « thérapeutique » des biomathématiques, où la connaissance du fonctionnement normal a permis de proposer des tests de détection précoce de comportements anormaux et des stratégies de correction de la pathologie.
Voici d’abord un exemple simple, pour illustrer cette démarche. Depuis une vingtaine d’années, les mathématiciens ont appris à modéliser la croissance tumorale. Ainsi, ils peuvent prédire la re-croissance d’une tumeur, à partir des zones « oubliées » par la chirurgie ou la radiothérapie ciblée et donc calculer la durée de vie d’un individu, liée au potentiel prolifératif de sa tumeur. Cette idée, née dans un laboratoire (TIMC-IMAG à Grenoble) où l’on étudiait la morphogénèse « discrète » , a finalement vu son application mature naître dans un hôpital cancérologique étudiant et soignant les tumeurs cancéreuses (le « Fred Hutchinson » à Seattle), sous la houlette d’un mathématicien « du continu » (J.D. Murray), ce qui illustre bien le caractère contingent des outils : ils peuvent servir la même modélisation, déclinée dans deux formalismes complémentaires et donnant lieu à des prédictions de même efficacité. La figure ...
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Introduction : description générale des biomathématiques
BIBLIOGRAPHIE
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(4) - DEMONGEOT (J.) - Random automata and random fields - In : Cellular Automata : Theory and Applications (réédité sous le titre Dynamical Systems and Cellular Automata), Academic Press, New York, 99-110 (1985).
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(5) - ROBERT (F.) - Discrete Iterations - A Metric Study, Springer, Berlin (1986).
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