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RÉSUMÉ
Les biomathématiques rassemblent les techniques de modélisation mathématique et de simulation de phénomènes dynamiques observés dans la nature, déclinées dans le domaine du vivant. Ces techniques de modélisation peuvent se décomposer en deux grandes familles, les biomathématiques discrètes et les biomathématiques continues, qui ont en commun le domaine récemment exploré des systèmes hybrides. Cet article privilégie dans sa présentation les techniques de la modélisation des systèmes vivants. La mise au point d’outils facilitant la formalisation de la dynamique à tous les niveaux de complexité du système vivant étudié, du gène à la population d’individus, en passant par la cellule et l’organisme, s’impose à l’avenir. Exemple est pris avec les mécanismes immunitaires innés et acquis chez les mammifères, en vue de corriger notamment des déficits de type paralysie.
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Jacques DEMONGEOT : Directeur adjoint du laboratoire AGIM, Informatique médicale, biomathématiques et modélisation de la cognition - Faculté de Médecine, Université Joseph Fourier (Grenoble)
INTRODUCTION
Les biomathématiques rassemblent les techniques de modélisation mathématique et de simulation de phénomènes dynamiques observés dans la nature, déclinées dans le domaine du vivant. Ces techniques de modélisation peuvent se décomposer en deux grandes familles :
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les biomathématiques discrètes, que nous illustrerons par la théorie des automates cellulaires (déterministes ou aléatoires) et ses applications à la modélisation des réseaux de régulation génétique et à celle des maladies contagieuses ;
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les biomathématiques continues, illustrées par la théorie des équations aux dérivées partielles appliquées au développement embryologique et à la modélisation de la diffusion des maladies infectieuses.
Ces deux familles de techniques de modélisation ont en commun un domaine assez récemment exploré, celui des systèmes hybrides, ayant une partie discrète et une partie continue.
Malgré la disparité apparente des domaines d’application, le spectre des sciences du vivant étant très large, la constance dans le choix d’outils classiques, à travers les articles récents dans les journaux internationaux de référence du domaine, conduit à penser que l’originalité des biomathématiques réside davantage dans la complexité des systèmes auxquelles elles s’appliquent, à la limite des possibilités de calcul en termes de dimension des systèmes étudiés et de nombre d’interactions entre leurs composants (ce qui oblige à implémenter des méthodes de calcul optimisant les temps d’exécution), que dans la création de nouveaux outils théoriques. L’introduction de méthodes multi-échelles en temps et en espace, de systèmes hybrides et d’approches énergétiques de type décomposition de Hodge (potentielle-hamiltonienne) constitue une tentative innovante dans la recherche de méthodologies spécifiques, sans représenter en soi une rupture du paradigme de la modélisation classique, qui introduirait des méthodes mathématiques totalement nouvelles, exigées par les spécificités du vivant. Une telle évolution n’est toutefois pas exclue dans l’avenir et nous en tracerons quelques perspectives.
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Biomathématiques continues pour la modélisation du vivant
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2. Biomathématiques discrètes pour la modélisation du vivant
2.1 Un exemple d’approche discrète, la théorie des automates cellulaires
La théorie des automates cellulaires, déterministes ou aléatoires , repose sur la définition d’un ensemble fini (dit réseau) de n systèmes dynamiques (dits automates) Ai , i variant de 1 à n, dont l’état xi (t) (i = 1,…, n) à la t ième itération dépend de l’état des automates à l’itération (t − 1), à travers une fonction de transition F :
Dans le cas d’un réseau d’automates aléatoires booléens, l’espace d’état (ou de configuration) du réseau est {0, 1} n (l’hypercube) et cette relation s’écrit :
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Biomathématiques discrètes pour la modélisation du vivant
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - MARCELPOIL (R.), USSON (Y.) - Methods for the study of cellular sociology : Voronoï diagrams and parametrization of the spatial relationships - J. Theor. Biol. 154, 359-369 (1992).
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(3) - FOREST (L.), DEMONGEOT (J.) - A general formalism for tissue morphogenesis based on cellular dynamics and control system interactions - ActaBiotheoretica 56, 51-74 (2008).
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(4) - DEMONGEOT (J.) - Random automata and random fields - In : Cellular Automata : Theory and Applications (réédité sous le titre Dynamical Systems and Cellular Automata), Academic Press, New York, 99-110 (1985).
-
(5) - ROBERT (F.) - Discrete Iterations - A Metric Study, Springer, Berlin (1986).
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