Bibliographie & annexes
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Auteur(s)
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Daniel VIAULT : Ingénieur ESE (École supérieure d’électricité), - Chef du Service Automatique de l’ESE
-
Patrick BOUCHER : Ingénieur ESE, - Chef de Travaux au Service Automatique de l’ESE
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Lire l’articleINTRODUCTION
En automatique comme, par exemple, en mécanique, en génie électrique ou en électronique, les problèmes d’analyse et de synthèse ont d’abord été posés en se plaçant dans l’hypothèse de linéarité. Des théories et des méthodes ont ainsi été développées qui ont permis de faire des progrès notables dans les domaines des asservissements et des régulations. Néanmoins, très rapidement, l’ingénieur s’est rendu compte que cette approche ne permettait pas d’étudier le comportement de bon nombre de systèmes réels. On a donc assisté, à partir des années cinquante, à de nombreuses études et recherches dans le domaine des systèmes non linéaires.
Dans une première étape, les non-linéarités ont été regardées essentiellement comme des imperfections, mais très vite les ingénieurs ont pris conscience des avantages qu’ils pouvaient tirer des non-linéarités pour la conception de systèmes plus performants. Parmi ces avantages, et à titre d’exemple, on peut citer la commande par plus ou moins qui permet, si elle est judicieusement conçue, par application du principe bang-bang, d’obtenir des réponses en temps minimal.
Alors que les principes de proportionnalité et de superposition conduisent, pour les systèmes linéaires, à des formulations et à des méthodes d’analyse et de synthèse très générales, il en va tout autrement pour les systèmes non linéaires. En effet, par définition même, sous la dénomination systèmes non linéaires, se regroupent des systèmes de natures très variées, qui nécessitent des approches elles-mêmes très différentes.
Une conséquence du caractère éminemment négatif de cette définition est qu’une théorie unifiée est impossible en automatique non linéaire : l’ingénieur a actuellement à sa disposition un ensemble de méthodes très différentes les unes des autres. La méthode la plus simple consiste à linéariser le système non linéaire, et en particulier à réaliser cette linéarisation dans le domaine fréquentiel. D’autres méthodes de linéarisation existent, mais elles ne seront pas présentées dans cet article ; parmi celles-ci, citons l’étude des points singuliers du système du deuxième ordre et la première méthode de Ljapunov.
Cette linéarisation harmonique est le plus souvent dénommée approximation du premier harmonique ou encore describing function dans la littérature anglo-saxonne.
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Exemples de calculs de gains complexes équivalents
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1. Hypothèses fondamentales de la méthode du premier harmonique
1.1 Rappel concernant la linéarité
Au sens de l’ingénieur, un système est dit linéaire s’il est régi par des équations différentielles linéaires à coefficients constants, c’est-à-dire si sa fonction de transfert est une fraction rationnelle en p (on note p la variable de Laplace).
La fonction de transfert exp (– τ p ) du retard pur, pour laquelle la plupart des outils utilisés en automatique linéaire s’appliquent, est généralement annexée à cette définition de la linéarité.
Cela implique la validité à tout instant du principe de superposition, lequel peut s’énoncer ainsi (figure 1) :
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si la réponse d’un système linéaire à une entrée x (t ) est y (t ), sa réponse à l’entrée k x (t ), k étant une constante, est k y (t ) (proportionnalité des effets aux causes) ;
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si y 1 (t ) et y2 (t ) sont les réponses respectivement aux entrées x 1 (t ) et x2 (t ), la réponse à l’entrée x 1 (t ) + x2 (t ) est y1 (t ) + y2 (t ) (additivité).
On appelle système non linéaire un système ne pouvant pas être représenté par une équation différentielle linéaire à coefficients constants, c’est-à-dire pour lequel le théorème de superposition ne s’applique pas.
HAUT DE PAGE1.2 Principe de la méthode
Soit x = X sin ωt l’entrée d’un système dont la sortie est y (t ) (figure 2).
La mise en évidence d’une non-linéarité interne au système peut être faite de plusieurs façons :
-
tout d’abord, on peut observer une certaine distorsion de y (t ) qui est périodique mais non sinusoïdal pur, et l’on peut noter que cette distorsion varie lorsque l’amplitude X varie ;
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par...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - GILLE (J.C.), DECAULNE (P.), PELEGRIN (M.) - Méthodes d’étude des systèmes asservis non linéaires. - Dunod Techniques de l’Automatisme (1967).
-
(2) - GILLE (J.-C.), DECAULNE (P.), PELLEGRIN (M.) - Systèmes asservis non linéaires. - 232 p., 2e éd., Dunod (1991).
-
(3) - MIRA (C.) - Systèmes asservis non linéaires. - Dunod Université (1969).
-
(4) - NASLIN (P.) - Technologie et calcul pratique des systèmes asservis. - Dunod (1958).
-
(5) - PAQUET (J.G.), LE MAITRE (J.F.) - Méthodes pratiques d’étude des oscillations non linéaires. Application aux systèmes par plus ou moins. - Gordon and Breach (1970).
-
(6) - PRUDHOME (R.) - Automatique. - 2 tomes. Masson (1974).
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