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RÉSUMÉ
Nombre de systèmes en ingénierie (automatique, électronique, télécommunications…) sont intrinsèquement non linéaires. Une approche globale, plutôt que par linéarisation, est nécessaire afin de bien comprendre leur comportement et de pouvoir définir les meilleures plages de fonctionnement, notamment lorsque les variations paramétriques peuvent conduire à des phénomènes complexes liés à des structures de bifurcation dépendant du type de non-linéarité impliqué.
L’objectif de cet article est d’introduire, à travers des exemples choisis, les structures de type « boîtes emboitées » et « boîtes en file ». Des systèmes assez simples, modélisés par des récurrences de dimension 1 comprenant des non-linéarités caractéristiques qui permettent d’illustrer ces différentes structures de bifurcation, sont proposés.
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Many systems in Engineering (such as Automatic, Electronics, Telecommunications,…) are inherently non linear. A global approach is necessary to understand their behavior and to define the best operating range for the parameters. Variations in some parameters can lead to complex phenomena, related to bifurcation structures depending on the type of nonlinearity involved.
The aim of this article is to introduce, through selected examples, structures like embedded boxes and boxes in file. The examples provided are fairly simple modelled with one-dimensional maps and include characteristic nonlinearities to illustrate these different bifurcation structures.
Auteur(s)
-
Danièle FOURNIER-PRUNARET : Professeure Emérite - INSA Toulouse, Toulouse, France
INTRODUCTION
Les systèmes utilisés ou conçus dans les domaines de l’ingénierie sont pour la plupart intrinsèquement non linéaires. Certains modèles peuvent être approximés et simplifiés, ce qui conduit à une modélisation linéaire. Néanmoins, dans de nombreux cas, les approximations qui conduisent à un système linéaire entrainent une perte d’information par rapport au système de départ. Il est donc important de conserver autant que possible les non-linéarités d’un système. Les systèmes linéaires peuvent être étudiés en utilisant les outils de l’algèbre linéaire, mais il n’existe pas d’outils génériques aussi puissants permettant d’analyser l’ensemble des systèmes non linéaires, tout au plus peut-on classifier ces systèmes, par exemple à partir du type de non-linéarité dominante, et proposer une analyse du comportement du système. L’introduction des outils numériques au milieu du XXe siècle a permis une avancée significative dans ce type d’analyse. En général, une combinaison entre des études théoriques et l’utilisation des outils numériques va permettre de mieux appréhender l’impact des non-linéarités dans un système. Les études numériques ont permis de mettre en évidence des comportements complexes qu’il est impossible d’observer dans un système linéaire à variables réelles, comme les comportements qualifiés de chaotiques.
Les modèles de systèmes électroniques, mécaniques, automatiques ou utilisés dans les transmissions en télécommunications font souvent intervenir des paramètres que l’utilisateur peut modifier pour que le système agisse de façon adéquate. Par exemple, il peut être utile qu’un système reste sur un état stationnaire fixe ; dans d’autres cas, il peut suffire que le système reste borné (cas de la stabilité BIBO – Bounded Input Bounded Output, c’est-à-dire entrée bornée, sortie bornée) ; des comportements de type périodique peuvent également présenter un intérêt. Dans certains cas, l’utilisateur peut ne pas avoir la maîtrise complète des paramètres ; ceux-ci peuvent varier dans des plages où les comportements sont drastiquement modifiés. Pour tous les systèmes, la connaissance des comportements possibles lorsque les paramètres évoluent est du plus grand intérêt. Une notion fondamentale est celle de bifurcation qui correspond à une modification qualitative du comportement d’un système lorsqu’un ou plusieurs paramètres sont modifiés. Le système peut passer d’un état stationnaire stable à un comportement périodique, avec une période qui peut changer très rapidement par variation d’un paramètre, voire à une instabilité complète. Des comportements appelés « chaotiques » qui semblent désordonnés peuvent également se produire.
Cet article s’intéresse plus particulièrement aux bifurcations qui interviennent dans des systèmes à temps discret modélisés par une transformation ponctuelle ou récurrence. Il est possible de mettre en évidence, non seulement des bifurcations spécifiques, mais aussi des structures globales de bifurcations qui sont associées à certains types de non-linéarités. Ces structures globales permettent une compréhension d’ensemble d’un système et peuvent tout particulièrement expliquer quels mécanismes conduisent au chaos. On obtient alors ce que l’on appelle une « route vers le chaos ».
Dans la première section, plusieurs types de non-linéarités seront étudiées à partir de modèles génériques : une non-linéarité de type quadratique ou cubique, une non-linéarité de type modulo ou des discontinuités de la fonction (ou de sa dérivée) qui intervient dans la modélisation. Pour chaque non-linéarité, sera mise en évidence une structure de bifurcations spécifique : structure « boîtes emboîtées » pour la première non-linéarité, structure « boîtes en files » type « addition de périodes » ou « incrémentation de périodes » pour la seconde.
La seconde section permettra de présenter des exemples de systèmes simples issus de plusieurs domaines de l’ingénierie qui présentent ces différents types de structures.
Ainsi, seront proposées l’étude d’un modulateur dans un système de transmission, celle d’un oscillateur et celle d’un circuit électrique hybride. Dans chacun de ces exemples, il est intéressant d’analyser les comportements du système afin, soit de choisir les paramètres qui vont correspondre à un comportement stable, ou au contraire ceux qui vont conduire à un comportement chaotique et borné. En effet, le chaos correspond à un comportement qui semble aléatoire, et il est possible d’utiliser des signaux chaotiques pour générer par exemple des nombres pseudo-aléatoires.
La conclusion donnera quelques perspectives pour des études plus complexes.
MOTS-CLÉS
Système non linéaire Bifurcation Route vers le chaos Boîtes emboitées Boîtes emboitées Boîtes en files Addition de périodes Incrémentation de périodes
KEYWORDS
Nonlinear system | Bifurcation | Route to chaos | Box-within-a-box | Embedded boxes | Boxes in file | Period incrementing | Period adding
DOI (Digital Object Identifier)
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Présentation
1. Structures de bifurcations
L’objectif de cette première section est de présenter des outils théoriques permettant l’étude de systèmes non linéaires à temps discret et état continu.
Nous nous intéresserons à des systèmes dont la modélisation se met sous la forme :
où
et
sont réels,
entier naturel représente le temps discrétisé,
est l’état du système au temps discrétisé
et
un paramètre du système qui varie dans l’ensemble des réels
ou dans un intervalle de
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Structures de bifurcations
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - DEVANEY (R.) - An Introduction to Chaotic Dynamical System. - Addison-Wesley (1989).
-
(2) - FATOU (P.) - Mémoire sur les équations fonctionnelles. - Bull. Soc. Math. France, 47, 1919, p161-271, 48, p33-94, p208-314 (1920).
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(3) - MIRA (C.) - Systèmes à dynamique complexe et bifurcations boîtes emboîtées. - RAIRO Aut., Fr, 12, no 1, pp. 63-94 (1978) ; 12, no 2, pp. 171-190 (1978).
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(4) - GUMOWSKI (I.), MIRA (C.) - Dynamique Chaotique. - Ed. Cépadues, Toulouse (1980).
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(5) - MYRBERG (P.J.) - Iteration der reellen Polynome zweiten Grades. - Ann. Acad. Sc. Fenn. (Finlande, (a) (1958), Sér. A,256, pp. 1–10 ; (b) (1959),268, pp. 1-10 ; (c) (1963),336, pp. 1-10. Sur l’itération des polynômes réels quadratiques – Journal de Math pures et appliquées, 41, 339-351 (1962).
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