Modèles mathématiques déduits d’un bond graph
Les bond graphs et leur application en mécatronique

Que ce soit pour créer un nouveau produit ou améliorer un produit existant, la démarche de l’ingénieur chargé de la réalisation d’un système piloté comporte en général deux phases :

• une première étape consiste à étudier le comportement passif (non commandé) du système ;

• la deuxième étape concerne essentiellement la définition d’un cahier des charges pour la détermination et l’implantation de lois de commande pour piloter le système actif.

Les tâches à réaliser dépendent des objectifs à atteindre, que ce soit la construction d’un modèle adapté et validé, la conception d’un système d’actionnement et de mesure vérifiant les contraintes de performances et de fiabilité, le choix de commandes robustes insensibles aux imprécisions ou dérives des paramètres, la définition d’un système de contrôle/supervision rapide et performant ou l’implantation sur prototype avec ses contraintes technologiques et de coût.

La première phase incontournable dans cette démarche est la modélisation.

La modélisation d’un système ne peut pas s’envisager sans une analyse préalable du niveau de complexité requis pour l’étude en cours et de l’utilisation qui va en être faite. L’ingénieur peut donc être amené à choisir entre différents types de modèles au cours de son étude.

Ainsi, un modèle de type éléments finis conviendra pour un dimensionnement statique d’un système mécanique, alors qu’un modèle identifié de type boîte noire pourra suffire pour le calcul d’une loi de commande simple pour le piloter.

Ces différents modèles sont complémentaires, spécifiques à un type d’étude, mais leur construction demande à chaque fois un effort nouveau. Il n’est pas possible d’envisager leur utilisation dans tout le processus de conception.

De plus, chaque domaine physique comporte ses traditions et habitudes en termes de notations, de méthodologies et conventions, ce qui rend difficile la communication entre spécialistes de domaines différents qui doivent collaborer de plus en plus à cause de la pluridisciplinarité des nouveaux produits, combinant la mécanique, l’hydraulique, l’électronique…

L’outil bond graph peut répondre à certaines difficultés rencontrées, de par ses caractéristiques propres :

• c’est un langage de représentation des transferts de puissance au sein d’un système, qui suppose une approche énergétique des problèmes, donc universelle ;

• il est graphique et unifié pour tous les domaines de la physique car il est fondé sur la notion d’analogie.

Le modèle obtenu peut être un bon modèle de connaissance, car le principe même de sa construction en fait une « boîte grise » par opposition aux modèles « boîte noire » obtenus par identification : la structure du modèle est toujours connue même si les paramètres sont parfois à déterminer expérimentalement.

Il faut cependant préciser que cet outil suppose les paramètres localisés dans le système.

L’article est organisé en quatre parties :

• un premier paragraphe regroupe toutes les notions de base et présente le langage graphique bond graph ;

• le deuxième paragraphe montre comment déduire d’un modèle bond graph les modèles mathématiques associés sous forme de matrice de transfert en linéaire et d’équation d’état linéaire ou non linéaire ;

• dans la troisième partie, nous présentons succinctement quelques procédures graphiques pour l’analyse des propriétés structurelles du modèle, qui permettent par exemple de concevoir une architecture de commande et de mesure ;

• la quatrième partie est la mise en œuvre sur un exemple mécatronique automobile (boîte de vitesse automatique) de la méthode bond graph, avec l’objectif de déterminer un modèle sous forme d’équation d’état pour la conception de lois de commande de la boîte.