Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Cet article sur l’analyse temporelle s’intéresse plus particulièrement aux principales propriétés des systèmes sous leurs aspects temporels, c'est-à-dire leurs comprtements en fonction de la variable indépendante temps. Y sont détaillés les systèmes linéaires markoviens évolutifs, notamment les représentations en grandeurs d’état, les propriétés de la matrice de transition ou encore le noyau d’un système linéaire. C'est le tour ensuite des systèmes non linéaires markoviens : systèmes évolutifs, permanents et séparables. Pour clore cet article, des explications de l’analyse temporelle (systèmes asservis à deux degrés de liberté, scalaires et à un degré de liberté) et des synthèses temporelles des systèmes asservis sont proposées.
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This article on temporal analysis focuses more specifically on the principal properties of systems under their temporal aspects, that is to say their behavior according to the independent time variable. Evolutive Markov linear systems are detailed, notably state representations, the properties of the transition matrix or the nucleus of a linear system. Markov non-linear systems are then presented: evolutionary, permanent and separable systems. To conclude, explanations of temporal analysis (two degree of freedom, scalar and one degree of freedom master-slave systems) and temporal synthesis of master-slave systems are provided.
Auteur(s)
-
Raymond HANUS : Directeur du Service d’Automatique et d’Analyse des Systèmes - Professeur à l’Université libre de Bruxelles – Université d’Europe
INTRODUCTION
Nous examinons sous le titre Analyse temporelle les principales propriétés des systèmes sous leurs aspects temporels, c’est‐à‐dire leurs comportements en fonction de la variable indépendante appelée temps t. Cette analyse fait l’objet de deux dossiers [S7 150] Partie 1 et [S7 151] Partie 2 dans lesquels sont présentés les systèmes markoviens continus, linéaires et permanents et leurs extensions vers certains systèmes non markoviens, non linéaires ou évolutifs. Généralement, nous limitons notre étude aux systèmes scalaires, mais chaque fois que nous le pourrons, nous fournirons les correspondants matriciels, si ceux‐ci ne se révèlent pas beaucoup plus compliqués que les premiers. Enfin, nous avons essayé d’illustrer chaque notion mathématique par des applications pratiques prises dans le monde de l’ingénieur.
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Analyse temporelle des systèmes asservis
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2. Systèmes non linéaires markoviens
2.1 Systèmes évolutifs
Nous limitons notre survol des systèmes non linéaires aux systèmes markoviens de la forme :
où les paramètres ϑ (t ) représentent le caractère évolutif du système.
Si les fonctions f et g sont suffisamment continues sur un horizon [t 0 , t ], nous pouvons toujours les linéariser autour de trajectoires de référence (surlignage).
N’importe quelles trajectoires vérifiant les équations peuvent servir de trajectoire de référence. Soit donc :
Une autre trajectoire quelconque peut toujours se définir en termes de variations autour de cette trajectoire prise comme référence :
où
,
et
représentent les variations en question. Si les fonctions f et g sont suffisamment continues autour de la trajectoire de référence, elles sont susceptibles d’un développement en série de Taylor, du moins jusqu’aux premiers ordres. Nous obtenons :
où les matrices A (t ), B (t ), C (t ) et D (t ) représentent les jacobiens de f et g...
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Systèmes non linéaires markoviens
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ANSARI (R.M.), TADÉ (M.O.) - Non-linear Madel-based Process Control. - Springer (2000).
-
(2) - ÅSTRÖM (K.), ALBERTOS (P.), BLANKE (M.), ISIDORI (A.), SCHAUFELBERGER (W.), SANZ (R.) - Control of Complex Systems. - Springer (2001).
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(3) - ÅSTRÖM (K.), HÄGGLUND (T.) - PID Controllers : Theory, Design, and Tuning. - ISA (1995).
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(4) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.-P.), ROTELLA (F.), ZAMBETAKKIS (I.) - Modélisation et identification des processus, Tome 1. - Technip (1992).
-
(5) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.-P.), ROTELLA (F.), ZAMBETAKKIS (I.) - Analyse et régulation des processus industriels : Tome 1 : Régulation continue 504 p. ; Tome 2 : Régulation numérique. 320 p. - Technip (1993).
-
(6) - DAVIS (J.H.) - Foundations...
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