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RÉSUMÉ
Cet article sur l’analyse temporelle s’intéresse plus particulièrement aux principales propriétés des systèmes sous leurs aspects temporels, c'est-à-dire leurs comprtements en fonction de la variable indépendante temps. Y sont détaillés les systèmes linéaires markoviens évolutifs, notamment les représentations en grandeurs d’état, les propriétés de la matrice de transition ou encore le noyau d’un système linéaire. C'est le tour ensuite des systèmes non linéaires markoviens : systèmes évolutifs, permanents et séparables. Pour clore cet article, des explications de l’analyse temporelle (systèmes asservis à deux degrés de liberté, scalaires et à un degré de liberté) et des synthèses temporelles des systèmes asservis sont proposées.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Raymond HANUS : Directeur du Service d’Automatique et d’Analyse des Systèmes - Professeur à l’Université libre de Bruxelles – Université d’Europe
INTRODUCTION
Nous examinons sous le titre Analyse temporelle les principales propriétés des systèmes sous leurs aspects temporels, c’est‐à‐dire leurs comportements en fonction de la variable indépendante appelée temps t. Cette analyse fait l’objet de deux dossiers [S7 150] Partie 1 et [S7 151] Partie 2 dans lesquels sont présentés les systèmes markoviens continus, linéaires et permanents et leurs extensions vers certains systèmes non markoviens, non linéaires ou évolutifs. Généralement, nous limitons notre étude aux systèmes scalaires, mais chaque fois que nous le pourrons, nous fournirons les correspondants matriciels, si ceux‐ci ne se révèlent pas beaucoup plus compliqués que les premiers. Enfin, nous avons essayé d’illustrer chaque notion mathématique par des applications pratiques prises dans le monde de l’ingénieur.
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Synthèses temporelles des systèmes asservis
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3. Analyse temporelle des systèmes asservis
3.1 Systèmes asservis à deux degrés de liberté
Les systèmes asservis à deux degrés de liberté répondent au schéma suivant.
Le système asservi a pour transmittance F (p ). Celle‐ci peut comporter des pôles d’intégration en nombre nF .
Le système réglant, encore appelé régulateur, est composé de trois éléments, l’action directe de transmittance R (p ), la rétroaction de transmittance S (p ) et l’action anticipative de transmittance T (p ). La transmittance R (p ) comporte généralement au moins un pôle d’intégration. Les termes S (p ) et T (p ) ne peuvent comporter de singularités (pôles ou zéros) en p = 0. Aucun des termes du schéma ne peut comporter de termes dérivateurs purs.
Le but de cette boucle d’asservissement est d’annihiler le plus vite possible l’écart ε (t ) entre les grandeurs à régler y (t ) et les grandeurs de référence r (t ), en agissant adéquatement sur les grandeurs réglantes u (t ) et cela en dépit des perturbations amont et aval, représentées par les grandeurs w (t ) et v (t ). En interprétant les différentes transmittances comme des opérateurs définis en fonction de l’opérateur de dérivation
, nous vérifions facilement que :
ou encore en ne faisant pas figurer les arguments pour des raisons de lisibilité :
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Analyse temporelle des systèmes asservis
BIBLIOGRAPHIE
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(2) - ÅSTRÖM (K.), ALBERTOS (P.), BLANKE (M.), ISIDORI (A.), SCHAUFELBERGER (W.), SANZ (R.) - Control of Complex Systems. - Springer (2001).
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(3) - ÅSTRÖM (K.), HÄGGLUND (T.) - PID Controllers : Theory, Design, and Tuning. - ISA (1995).
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(4) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.-P.), ROTELLA (F.), ZAMBETAKKIS (I.) - Modélisation et identification des processus, Tome 1. - Technip (1992).
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(5) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.-P.), ROTELLA (F.), ZAMBETAKKIS (I.) - Analyse et régulation des processus industriels : Tome 1 : Régulation continue 504 p. ; Tome 2 : Régulation numérique. 320 p. - Technip (1993).
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(6) - DAVIS (J.H.) - Foundations of...
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